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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
已知 ω>0\omega > 0，在函数 y=2sin⁡ωxy = 2\sin \omega x 与 y=2cos⁡ωxy = 2\cos \omega x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 232\sqrt{3}，则 ω=\omega =______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) 的导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的部分图象如图所示，其中，PP 为图象与 yy 轴的交点，AA，CC 为图象与 xx 轴的两个交点，BB 为图象的最低点.
(1) 若 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}，点 PP 的坐标为 (0,332)\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)，则 ω=\omega=______. (2) 若在曲线段 ABC⌢\overset{\frown}{ABC} 与 xx 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 △ABC\triangle ABC 内的概率为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
若 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则 2tan⁡x+tan⁡(π2−x)2\tan x + \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) 的最小值为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，BC=1BC = 1，B=2AB = 2A，则 ACcos⁡A\frac{AC}{\cos A} 的值等于______，ACAC 的取值范围为______.

2009 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 a=1a = 1，b=7b = \sqrt{7}，c=3c = \sqrt{3}，则 B=B =______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 a=1a = 1，c=3c = \sqrt{3}，C=π3C = \frac{\pi}{3}，则 A=A =______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+bsin⁡(x−π4)f(x) = a \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + b \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)（ab≠0ab \neq 0）是偶函数，则有序实数对 (a,b)(a, b) 可以是______. （写出你认为正确的一组数字即可）

2006 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+3sin⁡(x−π4)f(x)=a\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) 是偶函数，则 a=a=______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的图象与直线 x=ax = a，x=bx = b 及 xx 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上的面积. 已知函数 y=sin⁡nxy = \sin nx 在 [0,πn]\left[0, \frac{\pi}{n}\right] 上的面积为 2n\frac{2}{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) y=sin⁡3xy = \sin 3x 在 [0,2π3]\left[0, \frac{2\pi}{3}\right] 上的面积为______； (2) y=sin⁡(3x−π)+1y = \sin (3x - \pi) + 1 在 [π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right] 上的面积为______.
\begin{answer} 43\frac{4}{3}，π+23\pi + \frac{2}{3} \end{answer}
\begin{solution} 第一问中令 t=3xt=3x，则 tt 从 00 变到 2π2\pi，故所求面积为
13(∫0πsin⁡t dt+∫π2π(−sin⁡t) dt)=13(2+2)=43\frac13\left(\int_0^\pi\sin t\,\mathrm dt+\int_\pi^{2\pi}(-\sin t)\,\mathrm dt\right)=\frac13(2+2)=\frac43
第二问中令 t=3x−πt=3x-\pi，则 tt 从 00 变到 3π3\pi. 因为 sin⁡t+1⩾0\sin t+1\geqslant0，所求面积就是曲线与 xx 轴之间的积分：
13∫03π(sin⁡t+1) dt=13(2+3π)=π+23\frac13\int_0^{3\pi}(\sin t+1)\,\mathrm dt=\frac13(2+3\pi)=\pi+\frac23
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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