数迹
题目列表试卷列表
共找到 32 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 b2=acb^2=ac，点 DD 在边 ACAC 上，且 BDsin⁡∠ABC=asin⁡CBD\sin\angle ABC=a\sin C.
(1) 证明：BD=bBD=b； (2) 若 AD=2DCAD=2DC，求 cos⁡∠ABC\cos\angle ABC.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A，且 BB 为钝角.
(1) 证明： B−A=π2B - A = \frac{\pi}{2}； (2) 求 sin⁡A+sin⁡C\sin A + \sin C 的取值范围.

2015 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A.
(1) 证明：sin⁡B=cos⁡A\sin B = \cos A； (2) 若 sin⁡C−sin⁡Acos⁡B=34\sin C - \sin A\cos B = \frac{3}{4}，且 BB 为钝角，求 AA，BB，CC.

2015 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，AD=1AD = 1，CD=2CD = 2，AC=7AC = \sqrt{7}.
(1) 求 cos⁡∠CAD\cos \angle CAD 的值； (2) 若 cos⁡∠BAD=−714\cos\angle BAD = -\frac{\sqrt{7}}{14}，sin⁡∠CBA=216\sin\angle CBA = \frac{\sqrt{21}}{6}，求 BCBC 的长.
\begin{solution} 在三角形 ACDACD 中，由余弦定理得
CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos⁡∠CADCD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos\angle CAD
代入已知数据，得到
4=7+1−27cos⁡∠CAD4=7+1-2\sqrt7\cos\angle CAD
所以
cos⁡∠CAD=277\cos\angle CAD=\frac{2\sqrt7}{7}
设 α=∠BAD\alpha=\angle BAD，β=∠CAD\beta=\angle CAD. 由已知条件及角的范围， sin⁡α=1−(−714)2=32114\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)^2}=\frac{3\sqrt{21}}{14}，sin⁡β=1−(277)2=217\sin\beta=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt7}{7}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}{7}. 由图中射线 ACAC 位于 ∠BAD\angle BAD 内，∠BAC=α−β\angle BAC=\alpha-\beta，故
sin⁡∠BAC=sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=32114⋅277−(−714)⋅217=32\sin\angle BAC =\sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta =\frac{3\sqrt{21}}{14}\cdot\frac{2\sqrt7}{7} -\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)\cdot\frac{\sqrt{21}}{7} =\frac{\sqrt3}{2}
在三角形 ABCABC 中使用正弦定理，得
BCsin⁡∠BAC=ACsin⁡∠CBA\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin\angle CBA}
从而
BC=7⋅32216=3BC=\frac{\sqrt7\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=3
\end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19三角函数★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，DA⊥ABDA \perp AB，DE=1DE = 1，EC=7EC = \sqrt{7}，EA=2EA = 2，∠ADC=2π3\angle ADC = \frac{2\pi}{3}，∠BEC=π3\angle BEC = \frac{\pi}{3}.
(1) 求 sin⁡∠CED\sin \angle CED 的值； (2) 求 BEBE 的长.

2014 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)，g(x)=2sin⁡2x2g(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}.
(1) 若 α\alpha 是第一象限角，且 f(α)=335f(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{5}，求 g(α)g(\alpha) 的值； (2) 求使 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x⋅cos⁡(x−π3)f(x) = \cos x \cdot \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right).
(1) 求 f(2π3)f\left(\frac{2\pi}{3}\right) 的值； (2) 求使 f(x)<14f(x) < \frac{1}{4} 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （x∈Rx \in \mathbf{R}，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \tfrac{\pi}{2}）的部分图象如图所示.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 求函数 g(x)=f(x−π12)−f(x+π12)g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right) 的单调递增区间.

2012 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 且满足 csin⁡A=acos⁡Cc \sin A = a \cos C.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 3sin⁡A−cos⁡(B+π4)\sqrt{3} \sin A - \cos \left(B + \frac{\pi}{4}\right) 的最大值，并求取得最大值时角 AA，BB 的大小.

2011 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且满足 csin⁡A=acos⁡Cc \sin A = a \cos C.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 3sin⁡A−cos⁡(B+π4)\sqrt{3}\sin A - \cos\left(B + \frac{\pi}{4}\right) 的最大值，并求取得最大值时角 AA，BB 的大小.

2011 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡2x−2sin⁡2xf(x) = \sqrt{3}\sin 2x - 2\sin^2 x.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最大值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的零点的集合.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 2sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=1-\cos2x，得 f(x)=3sin⁡2x+cos⁡2x−1=2sin⁡(2x+π6)−1f(x)=\sqrt{3}\sin2x+\cos2x-1=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1. 因为 −1⩽sin⁡(2x+π6)⩽1-1\leqslant\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\leqslant1，所以 f(x)⩽1f(x)\leqslant1，且当 2x+π6=π2+2kπ2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi 时取等号，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因此 f(x)f(x) 的最大值为 11. \item f(x)=0f(x)=0 等价于 sin⁡(2x+π6)=12\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}. 所以 2x+π6=π6+2kπ2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi 或 2x+π6=5π6+2kπ2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 解得 x=kπx=k\pi 或 x=kπ+π3x=k\pi+\frac{\pi}{3}. 故零点集合为 {kπ∣k∈Z}∪{kπ+π3∣k∈Z}\left\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\right\}\cup\left\{k\pi+\frac{\pi}{3}\mid k\in\mathbf{Z}\right\}. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2x−2sin⁡2xf(x) = \sin 2x - 2\sin^2 x.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最大值及 f(x)f(x) 取最大值时 xx 的集合.

2010 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 2AB→⋅AC→=3∣AB→∣⋅∣AC→∣=3BC22\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \sqrt{3} |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| = 3BC^2，求角 AA，BB，CC 的大小.

2009 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,cos⁡θ−2sin⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin \theta, \cos \theta - 2\sin \theta)，b=(1,2)\boldsymbol{b} = (1, 2).
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，求 tan⁡θ\tan \theta 的值； (2) 若 ∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|，0<θ<π0 < \theta < \pi，求 θ\theta 的值.

2009 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
19三角函数★★★★☆
在一个特定时段内，以点 EE 为中心的 7 海里7\text{ 海里} 以内海域被设为警戒水域. 点 EE 正北 55 海里55\text{ 海里} 处有一个雷达观测站 AA. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 AA 北偏东 45∘45^{\circ} 且与点 AA 相距 402 海里40\sqrt{2}\text{ 海里} 的位置 BB，经过 40 分钟40\text{ 分钟} 又测得该船已行驶到点 AA 北偏东 45∘+θ45^{\circ} + \theta（其中 sin⁡θ=2626\sin \theta = \frac{\sqrt{26}}{26}，0∘<θ<90∘0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}）且与点 AA 相距 1013 海里10\sqrt{13}\text{ 海里} 的位置 CC.
(1) 求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； (2) 若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

2008 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x2−sin⁡2x2+sin⁡xf(x) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} + \sin x.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 当 x0∈(0,π4)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) 且 f(x0)=425f(x_0) = \frac{4\sqrt{2}}{5} 时，求 f(x0+π6)f\left(x_0 + \frac{\pi}{6}\right) 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 cos⁡2x2−sin⁡2x2=cos⁡x\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x，得 f(x)=cos⁡x+sin⁡x=2sin⁡(x+π4)f(x)=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)，所以 f(x)f(x) 的最小正周期为 2π2\pi.
\item 由已知条件，cos⁡x0+sin⁡x0=425\cos x_0+\sin x_0=\frac{4\sqrt{2}}{5}. 于是 sin⁡2x0=(cos⁡x0+sin⁡x0)2−1=725\sin 2x_0=\left(\cos x_0+\sin x_0\right)^2-1=\frac{7}{25}. 因为 0<2x0<π20<2x_0<\frac{\pi}{2}，所以 cos⁡2x0=2425\cos 2x_0=\frac{24}{25}，从而 cos⁡x0−sin⁡x0>0\cos x_0-\sin x_0>0. 又 (cos⁡x0−sin⁡x0)2=1−sin⁡2x0=1825\left(\cos x_0-\sin x_0\right)^2=1-\sin 2x_0=\frac{18}{25}，故 cos⁡x0−sin⁡x0=325\cos x_0-\sin x_0=\frac{3\sqrt{2}}{5}.
因此 cos⁡x0=7210\cos x_0=\frac{7\sqrt{2}}{10}，sin⁡x0=210\sin x_0=\frac{\sqrt{2}}{10}，所以
f(x0+π6)=cos⁡(x0+π6)+sin⁡(x0+π6)f\left(x_0+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(x_0+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x_0+\frac{\pi}{6}\right)
f(x0+π6)=32(cos⁡x0+sin⁡x0)+12(cos⁡x0−sin⁡x0)=46+3210f\left(x_0+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos x_0+\sin x_0\right)+\frac{1}{2}\left(\cos x_0-\sin x_0\right)=\frac{4\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{10}
\end{enumerate} \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2(x+π12)f(x) = \cos^2\left(x + \frac{\pi}{12}\right)，g(x)=1+12sin⁡2xg(x) = 1 + \frac{1}{2}\sin 2x.
(1) 设 x=x0x = x_0 是函数 y=f(x)y = f(x) 图象的一条对称轴，求 g(x0)g(x_0) 的值； (2) 求函数 h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x) 的单调递增区间.

2007 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析