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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 b2=acb^2=ac，点 DD 在边 ACAC 上，且 BDsin⁡∠ABC=asin⁡CBD\sin\angle ABC=a\sin C.
(1) 证明：BD=bBD=b； (2) 若 AD=2DCAD=2DC，求 cos⁡∠ABC\cos\angle ABC.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的图象是由函数 g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x 的图象经如下变换得到：先将 g(x)g(x) 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 22 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式，并求其图象的对称轴方程； (2) 已知关于 xx 的方程 f(x)+g(x)=mf(x)+g(x)=m 在 [0,2π)[0,2\pi) 内有两个不同的解 α\alpha、β\beta.
(i) 求实数 mm 的取值范围； (ii) 证明：cos⁡(α−β)=2m25−1\cos(\alpha-\beta)=\frac{2m^{2}}{5}-1.

2015 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=103sin⁡x2cos⁡x2+10cos⁡2x2f(x) = 10\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 10\cos^2\frac{x}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 将函数 f(x)f(x) 的图象向右平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度，再向下平移 aa（a>0a > 0） 个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象，且函数 g(x)g(x) 的最大值为 2.
(i) 求函数 g(x)g(x) 的解析式； (ii) 证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0x_0，使得 g(x0)>0g(x_0) > 0.

2015 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x)−12f(x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}，
(1) 若 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}，且 sin⁡α=22\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}，求 f(α)f(\alpha) 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及单调递增区间.

2014 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x)f(x) = 2\cos x (\sin x + \cos x).
(1) 求 f(5π4)f\left(\frac{5\pi}{4}\right) 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及单调递增区间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 代入，得 f(5π4)=2cos⁡5π4(sin⁡5π4+cos⁡5π4)=2f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2\cos\frac{5\pi}{4}\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)=2. \item 化简得 f(x)=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x=1+sin⁡2x+cos⁡2x=1+2sin⁡(2x+π4)f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x=1+\sin2x+\cos2x=1+\sqrt2\sin\left(2x+\frac\pi4\right). 因此最小正周期满足 2T=2π2T=2\pi，即 T=πT=\pi. 又 f′(x)=22cos⁡(2x+π4)f'(x)=2\sqrt2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)，所以在单调递增区间内 f′(x)⩾0f'(x)\geqslant0，且内部除端点外为正，即 −π2+2kπ⩽2x+π4⩽π2+2kπ-\frac\pi2+2k\pi\leqslant2x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi，从而 kπ−3π8⩽x⩽kπ+π8k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac\pi8. 故函数的单调递增区间为 [kπ−3π8,kπ+π8]\left[k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac\pi8\right]，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20三角函数★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0， 0<φ<π\ 0 < \varphi < \pi）的周期为 π\pi，图象的一个对称中心为 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，将函数 f(x)f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象.
(1) 求函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的解析式； (2) 是否存在 x0∈(π6,π4)x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)，使得 f(x0)f(x_0)，g(x0)g(x_0)，f(x0)g(x0)f(x_0)g(x_0) 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0x_0 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 aa 与正整数 nn，使得 F(x)=f(x)+ag(x)F(x) = f(x) + a g(x) 在 (0,nπ)(0, n\pi) 内恰有 20132013 个零点.

2013 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，在等腰直角 △OPQ\triangle OPQ 中，∠POQ=90∘\angle POQ = 90^{\circ}，OP=22OP = 2\sqrt{2}，点 MM 在线段 PQPQ 上.
(1) 若 OM=5OM = \sqrt{5}，求 PMPM 的长； (2) 若点 NN 在线段 MQMQ 上，且 ∠MON=30∘\angle MON = 30^{\circ}，问：当 ∠POM\angle POM 取何值时，△OMN\triangle OMN 的面积最小？ 并求出面积的最小值.

2013 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ} + \cos^{2}17^{\circ} - \sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ} + \cos^{2}15^{\circ} - \sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ} + \cos^{2}12^{\circ} - \sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ}) + \cos^{2}48^{\circ} - \sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ}) + \cos^{2}55^{\circ} - \sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ}+\cos^{2}17^{\circ}-\sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ}+\cos^{2}15^{\circ}-\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ}+\cos^{2}12^{\circ}-\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ})+\cos^{2}48^{\circ}-\sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ})+\cos^{2}55^{\circ}-\sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=3q=3，前 33 项和 S3=133S_3=\frac{13}{3}.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若函数 f(x)=Asin⁡(2x+φ)f(x)=A\sin\left(2x+\varphi\right)（A>0A>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 处取得最大值，且最大值为 a3a_3，求函数 f(x)f(x) 的解析式.

2011 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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21三角函数★★★☆☆
设函数 f(θ)=3sin⁡θ+cos⁡θf(\theta) = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta，其中，角 θ\theta 的顶点与坐标原点重合，始边与 xx 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x,y)P(x, y)，且 0⩽θ⩽π0 \leqslant \theta \leqslant \pi.
(1) 若点 PP 的坐标为 (12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，求 f(θ)f(\theta) 的值； (2) 若点 P(x,y)P(x, y) 为平面区域 Ω\Omega：
{x+y⩾1,x⩽1,y⩽1\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x \leqslant 1,\\ y \leqslant 1 \end{cases}
上的一个动点，试确定角 θ\theta 的取值范围，并求函数 f(θ)f(\theta) 的最小值和最大值.

2011 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 t 小时t\text{ 小时} 与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时30\text{ 海里/小时}，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

2010 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，某市拟在长为 8 km8 \mathrm{~km} 的道路 OPOP 的一侧修建一条运动赛道. 赛道的前一部分为曲线段 OSMOSM，该曲线段为函数 y=Asin⁡ωxy = A \sin \omega x（A>0A > 0，ω>0\omega > 0），x∈[0,4]x \in [0,4] 的图象，且图象的最高点为 S(3,23)S(3, 2\sqrt{3})；赛道的后一部分为折线段 MNPMNP. 为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP=120∘\angle MNP = 120^{\circ}.
(1) 求 AA，ω\omega 的值和 MM，PP 两点间的距离； (2) 应如何设计，才能使折线段赛道 MNPMNP 最长？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为图象的最高点为S(3,23)S(3,2\sqrt{3})，所以振幅A=23A=2\sqrt{3}，且sin⁡(3ω)=1\sin(3\omega)=1.写成3ω=π2+2kπ3\omega=\frac{\pi}{2}+2k\pi.由ω>0\omega>0知k⩾0k\geqslant0.若k⩾1k\geqslant1，则前一个最高点的横坐标为3−2πω∈(0,3)3-\frac{2\pi}{\omega}\in(0,3)，与最高点只有SS不符，故k=0k=0，从而ω=π6\omega=\frac{\pi}{6}.
曲线在x=4x=4处的终点为
M(4,23sin⁡2π3)=(4,3)M\left(4,2\sqrt{3}\sin\frac{2\pi}{3}\right)=(4,3)
而P=(8,0)P=(8,0)，所以
MP=(8−4)2+(0−3)2=5MP=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=5
\item 设MN=uMN=u，NP=vNP=v，其中uu，v>0v>0.在三角形MNPMNP中，∠MNP=120∘\angle MNP=120^{\circ}，由余弦定理
MP2=u2+v2−2uvcos⁡120∘=u2+v2+uv=25MP^2=u^2+v^2-2uv\cos120^{\circ}=u^2+v^2+uv=25
因此由u2+v2⩾2uvu^2+v^2\geqslant2uv得25⩾3uv25\geqslant3uv，即uv⩽253uv\leqslant\frac{25}{3}.于是
(u+v)2=u2+v2+2uv=25+uv⩽25+253=1003(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=25+uv\leqslant25+\frac{25}{3}=\frac{100}{3}
等号当且仅当u=vu=v，即MN=NPMN=NP.此时三角形为等腰三角形，底角 ∠PMN=∠MPN=180∘−120∘2=30∘\angle PMN=\angle MPN=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}.所以应设计为MN=NPMN=NP，等价于∠PMN=30∘\angle PMN=30^{\circ}. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi)，其中 ω>0\omega > 0，∣φ∣<π2|\varphi| < \frac{\pi}{2}.
(1) 若 cos⁡π4cos⁡φ−sin⁡3π4sin⁡φ=0\cos\frac{\pi}{4}\cos\varphi-\sin\frac{3\pi}{4}\sin\varphi=0，求 φ\varphi 的值； (2) 在上一小问的条件下，若函数 f(x)f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 π3\frac{\pi}{3}，求函数 f(x)f(x) 的解析式；并求最小正实数 mm，使得函数 f(x)f(x) 的图象左平移 mm 个单位所对应的函数是偶函数.

2009 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，平行四边形 ABCDABCD 中，∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，AB=2AB = 2，AD=4AD = 4. 将 △CBD\triangle CBD 沿 BDBD 折起到 △EBD\triangle EBD 的位置，使平面 EDB⊥EDB \perp 平面 ABDABD.
(1) 求证：AB⊥DEAB \perp DE； (2) 求三棱锥 E−ABDE-ABD 的侧面积.

2009 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(3,−1)\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}, -1)，m⋅n=1\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1，且 AA 为锐角.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4 \cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(1,−2)\boldsymbol{n} = (1, -2)，且 m⋅n=0\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0.
(1) 求 tan⁡A\tan A 的值； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4\cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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