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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A+\sqrt3\cos A=2.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a=2，2bsin⁡C=csin⁡2B\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt3，DD 为 BCBC 的中点，且 AD=1AD=1.
(1) 若 ∠ADC=π3\angle ADC=\dfrac{\pi}{3}，求 tan⁡B\tan B； (2) 若 b2+c2=8b^2+c^2=8，求 bb，cc.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，分别以 aa，bb，cc 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1S_1，S2S_2，S3S_3. 已知 S1−S2+S3=32S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt3}{2}，sin⁡B=13\sin B=\frac13.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡Asin⁡C=23\sin A\sin C=\frac{\sqrt2}{3}，求 bb.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边长分别为 aa，bb，cc，b=a+1b=a+1，c=a+2c=a+2.
(1) 若 2sin⁡C=3sin⁡A2\sin C=3\sin A，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 是否存在正整数 aa，使得 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡2(π2+A)+cos⁡A=54\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2}+A \right)+\cos A=\dfrac{5}{4}.
(1) 求 AA； (2) 若 b−c=33ab-c=\dfrac{\sqrt3}{3}a，证明：△ABC\triangle ABC 是直角三角形.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a>ca > c，已知 BA→⋅BC→=2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2，cos⁡B=13\cos B = \frac{1}{3}，b=3b = 3，求：
(1) aa 和 cc 的值； (2) cos⁡(B−C)\cos (B - C) 的值.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(cos⁡x−x)(π+2x)−83(sin⁡x+1)f(x) = (\cos x - x)(\pi + 2x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)，g(x)=3(x−π)cos⁡x−4(1+sin⁡x)ln⁡(3−2xπ)g(x) = 3(x - \pi)\cos x - 4(1 + \sin x)\ln \left(3 - \frac{2x}{\pi}\right).
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_{1} \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_{1}) = 0，且对（1）中的 x0x_{0}，有 x0+x1<πx_{0} + x_{1} < \pi.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a>ca > c，已知 BA→⋅BC→=2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2，cos⁡B=13\cos B = \frac{1}{3}，b=3b = 3. 求：
(1) aa 和 cc 的值； (2) cos⁡(B−C)\cos(B-C) 的值.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=π(x−cos⁡x)−2sin⁡x−2f(x) = \pi (x - \cos x) - 2\sin x - 2，g(x)=(x−π)1−sin⁡x1+sin⁡x+2xπ−1g(x) = (x - \pi)\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} + \frac{2x}{\pi} - 1.
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_1 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_1) = 0，且对上一问中的 x0x_0，有 x0+x1>πx_0 + x_1 > \pi.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
设向量 a=(3sin⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}\sin x, \sin x)，b=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sin x)，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 若 ∣a∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，求 xx 的值； (2) 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1+x)e−2xf(x) = (1 + x)\mathrm{e}^{-2x}，g(x)=ax+x32+1+2xcos⁡xg(x) = ax + \frac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x，当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，
(1) 求证：1−x⩽f(x)⩽11+x1 - x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1 + x}； (2) 若 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 恒成立，求实数 aa 的取值范围.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
(1) 设向量 a=(3sin⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}\sin x, \sin x)，b=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sin x)，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]. 若 ∣a∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，求 xx 的值； (2) 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 角 AA，BB，CC 成等差数列.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值. (2) 若边 aa，bb，cc 成等比数列，求 sin⁡Asin⁡C\sin A \sin C 的值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，⊙O\odot O 和 ⊙O′\odot O' 相交于 AA，BB 两点，过 AA 作两圆的切线分别交两圆于 CC，DD 两点，连接 DBDB 并延长交 ⊙O\odot O 于点 EE. 证明：
(1) AC⋅BD=AD⋅ABAC \cdot BD = AD \cdot AB. (2) AC=AEAC = AE.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 角 AA，BB，CC 成等差数列.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 若边 aa，bb，cc 成等比数列，求 sin⁡Asin⁡C\sin A \sin C 的值.

2012 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，asin⁡Asin⁡B+bcos⁡2A=2aa \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2}a.
(1) 求 ba\frac{b}{a}； (2) 若 c2=b2+3a2c^{2} = b^{2} + \sqrt{3}a^{2}，求 BB.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为内角 AA，BB，CC 的对边，且 2asin⁡A=(2b+c)sin⁡B+(2c+b)sin⁡C2a \sin A = (2b + c) \sin B + (2c + b) \sin C.
(1) 求 AA 的大小； (2) 求 sin⁡B+sin⁡C\sin B + \sin C 的最大值.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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22三角函数★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 的角平分线 ADAD 的延长线交它的外接圆于点 EE.
(1) 证明：△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=12AD⋅AES = \frac{1}{2} AD \cdot AE，求 ∠BAC\angle BAC 的大小.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为内角 AA，BB，CC 的对边，且 2asin⁡A=(2b+c)sin⁡B+(2c+b)sin⁡C2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C.
(1) 求 AA 的大小； (2) 若 sin⁡B+sin⁡C=1\sin B+\sin C=1，试判断 △ABC\triangle ABC 的形状.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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22三角函数★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 的角平分线 ADAD 的延长线交它的外接圆于点 EE.
(1) 证明：△ABE∼△ADC\triangle ABE\sim\triangle ADC； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=12AD⋅AES=\frac{1}{2}AD\cdot AE，求 ∠BAC\angle BAC 的大小.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，AA，BB，CC，DD 都在同一个与水平面垂直的平面内，BB，DD 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 AA 处测得 BB 点和 DD 点的仰角分别为 75∘75^{\circ}，30∘30^{\circ}，于水面 CC 处测得 BB 点和 DD 点的仰角均为 60∘60^{\circ}，AC=0.1 kmAC = 0.1 \mathrm{~km}. 试探究图中 BB，DD 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 BB，DD 的距离.（计算结果精确到 0.01 km0.01 \mathrm{~km}，2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414，6≈2.449\sqrt{6} \approx 2.449）

2009 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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