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135分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第一象限角，β\beta 为第三象限角，tan⁡α+tan⁡β=4\tan\alpha+\tan\beta=4，tan⁡αtan⁡β=2+1\tan\alpha\tan\beta=\sqrt2+1，则 sin⁡(α+β)=\sin(\alpha+\beta)=______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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165分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)，如图，AA，BB 是直线 y=12y=\frac12 与曲线 y=f(x)y=f(x) 的两个交点，若 ∣AB∣=π6|AB|=\frac{\pi}{6}，则 f(π)=‾f(\pi)=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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13三角函数★☆☆☆☆
若 sin⁡x=−23\sin x=-\dfrac{2}{3}，则 cos⁡2x=‾\cos 2x=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 b=6b=6，a=2ca=2c，B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡A+acos⁡B=0b\sin A+a\cos B=0，则 B=‾B=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+cos⁡β=1\sin\alpha+\cos\beta=1，cos⁡α+sin⁡β=0\cos\alpha+\sin\beta=0，则 sin⁡(α+β)=‾\sin(\alpha+\beta)=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡(α−5π4)=15\tan\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac15，则 tan⁡α=‾\tan\alpha=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，B=120∘B = 120^{\circ}，AB=2AB = \sqrt{2}，AA 的角平分线 AD=3AD = \sqrt{3}，则 AC=AC =______.
\begin{answer} 6\sqrt{6} \end{answer}
\begin{solution} 设 AC=2uAC=\sqrt2u，BC=2vBC=\sqrt2v，其中 uu，v>0v>0. 由 ∠B=120∘\angle B=120^\circ 及余弦定理，
u2=v2+v+1u^2=v^2+v+1
由角平分线长公式
AD2=AB⋅AC(1−BC2(AB+AC)2)AD^2=AB\cdot AC\left(1-\frac{BC^2}{(AB+AC)^2}\right)
得
3=2u(1−v2(u+1)2)3=2u\left(1-\frac{v^2}{(u+1)^2}\right)
利用 v2=u2−v−1v^2=u^2-v-1 化简上式，得 2uv=−u2+2u+32uv=-u^2+2u+3，v=−u2+2u+32u\qquad v=\frac{-u^2+2u+3}{2u}. 将此式代入 u2=v2+v+1u^2=v^2+v+1，并通分化简得
0=−3(u2−3)(u+1)24u20=-\frac{3(u^2-3)(u+1)^2}{4u^2}
由于 u>0u>0，且 u+1≠0u+1\ne0，所以 u2=3u^2=3，从而 u=3u=\sqrt3. 此时由前式得 v=1>0v=1>0，满足三角形条件，故 AC=2u=6AC=\sqrt2u=\sqrt6. \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a=2a = 2，cos⁡C=−14\cos C = -\frac{1}{4}，3sin⁡A=2sin⁡B3\sin A = 2\sin B，则 c=‾c =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，−π2⩽φ<π2-\frac{\pi}{2} \leqslant \varphi < \frac{\pi}{2}）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度得到 y=sin⁡xy = \sin x 的图象，则 f(π6)=f\left(\frac{\pi}{6}\right) =______.

2014 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^{\circ}，∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}，AB=20AB = 20，过 CC 作 △ABC\triangle ABC 的外接圆的切线 CDCD，BD⊥CDBD \perp CD，BDBD 与外接圆交于点 EE，则 DEDE 的长为______.
\begin{answer} 55 \end{answer}
\begin{solution} 因为 ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}，所以 ABAB 是外接圆的直径. 由 AB=20AB=20 及 ∠A=60∘\angle A=60^{\circ}，得
BC=ABsin⁡60∘=103BC=AB\sin60^{\circ}=10\sqrt3
由切线与弦 CBCB 所成的角等于弦 CBCB 所对的圆周角，得
∠BCD=∠BAC=60∘\angle BCD=\angle BAC=60^{\circ}
在直角三角形 BCDBCD 中，BD⊥CDBD\perp CD，故 CD=BCcos⁡60∘=53CD=BC\cos60^{\circ}=5\sqrt3，BD=BCsin⁡60∘=15BD=BC\sin60^{\circ}=15. 由点 DD 的切割线定理，
DC2=DE⋅DBDC^2=DE\cdot DB
所以
DE=DC2DB=(53)215=5DE=\frac{DC^2}{DB}=\frac{(5\sqrt3)^2}{15}=5
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
设 0⩽α⩽π0 \leqslant \alpha \leqslant \pi，不等式 8x2−(8sin⁡α)x+cos⁡2α⩾08x^{2} - (8\sin \alpha)x + \cos 2\alpha \geqslant 0 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，则 α\alpha 的取值范围为______. \begin{answer} [0,π6]∪[5π6,π]\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right] \end{answer} \begin{solution} 关于 xx 的二次式首项系数 8>08>0，要对任意实数 xx 非负，充要条件是判别式不大于零，即
Δ=(−8sin⁡α)2−4⋅8cos⁡2α⩽0\Delta=(-8\sin\alpha)^2-4\cdot8\cos2\alpha\leqslant0
化简得
2sin⁡2α−cos⁡2α⩽02\sin^2\alpha-\cos2\alpha\leqslant0
利用 cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha，得到 4sin⁡2α−1⩽04\sin^2\alpha-1\leqslant0，∣sin⁡α∣⩽12|\sin\alpha|\leqslant\frac12. 在 0⩽α⩽π0\leqslant\alpha\leqslant\pi 上，sin⁡α⩾0\sin\alpha\geqslant0，所以
α∈[0,π6]∪[5π6,π]\alpha\in\left[0,\frac\pi6\right]\cup\left[\frac{5\pi}6,\pi\right]
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡A=35\cos A = \frac{3}{5}，cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}，b=3b = 3，则 c=‾c =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 145\frac{14}{5} \end{answer}
\begin{solution} 由于 AA，BB 是三角形内角，且余弦值为正，故 sin⁡A=1−cos⁡2A=45\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\frac45，sin⁡B=1−cos⁡2B=1213\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\frac{12}{13} 又 C=π−(A+B)C=\pi-(A+B)，所以
sin⁡C=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B=45⋅513+35⋅1213=5665\sin C=\sin(A+B) =\sin A\cos B+\cos A\sin B =\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13} =\frac{56}{65}
由正弦定理， csin⁡C=bsin⁡B\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}，c=3⋅5665⋅1312=145c=3\cdot\frac{56}{65}\cdot\frac{13}{12}=\frac{14}{5} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a=1a=1，b=2b=2，cos⁡C=14\cos C=\frac{1}{4}，则 sin⁡B=‾\sin B=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 154\frac{\sqrt{15}}{4} \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，c2=a2+b2−2abcos⁡C=12+22−2×1×2×14=4c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=1^2+2^2-2\times1\times2\times\frac14=4，所以 c=2c=2. 又 0<C<π0<C<\pi，故 sin⁡C=1−cos⁡2C=1−116=154\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}=\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4. 由正弦定理 bsin⁡B=csin⁡C\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}，且 b=c=2b=c=2，得到 sin⁡B=sin⁡C=154\sin B=\sin C=\frac{\sqrt{15}}4. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡α=12+cos⁡α\sin \alpha = \frac{1}{2} + \cos \alpha，且 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则 cos⁡2αsin⁡(α−π4)\frac{\cos 2\alpha}{\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)} 的值为______. \begin{answer} −142-\frac{\sqrt{14}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 s=sin⁡αs=\sin\alpha，c=cos⁡αc=\cos\alpha，则 s−c=12s-c=\frac{1}{2}. 由 s2+c2=1s^2+c^2=1，得 1−2sc=(s−c)2=141-2sc=(s-c)^2=\frac{1}{4}，所以 sc=38sc=\frac{3}{8}. 又因 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，有 s+c>0s+c>0，从而 (s+c)2=1+2sc=74(s+c)^2=1+2sc=\frac{7}{4}，即 s+c=72s+c=\frac{\sqrt{7}}{2}. 因此 cos⁡2α=c2−s2=(c−s)(c+s)=−74\cos2\alpha=c^2-s^2=(c-s)(c+s)=-\frac{\sqrt{7}}{4}，且 sin⁡(α−π4)=s−c2=24\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{s-c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}. 所以原式等于 −7424=−142\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\frac{\sqrt{14}}{2}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡α=−35\cos \alpha = -\frac{3}{5}，且 α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)，则 tan⁡α=\tan \alpha =______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 CC，各段弧所在的圆经过同一点 PP（点 PP 不在 CC 上）且半径相等. 设第 ii 段弧所对的圆心角 αi\alpha_i（i=1i = 1，22，33），则 cos⁡α13cos⁡α2+α33−sin⁡α13sin⁡α2+α33=\cos \frac{\alpha_1}{3} \cos \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} - \sin \frac{\alpha_1}{3} \sin \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} =______.

2010 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左，右焦点分别为 F1(−c,0)F_{1}(-c, 0)，F2(c,0)F_{2}(c, 0). 若双曲线上存在一点 PP 使 sin⁡∠PF1F2sin⁡∠PF2F1=ac\frac{\sin \angle PF_{1}F_{2}}{\sin \angle PF_{2}F_{1}} = \frac{a}{c}，则该双曲线的离心率的取值范围为______.
\begin{answer} (1,2+1)(1,\sqrt{2}+1) \end{answer}
\begin{solution} 在三角形 PF1F2PF_1F_2 中，由正弦定理
sin⁡∠PF1F2sin⁡∠PF2F1=PF2PF1=ac=1e<1\frac{\sin\angle PF_1F_2}{\sin\angle PF_2F_1} =\frac{PF_2}{PF_1}=\frac{a}{c}=\frac1e<1
故 PF2<PF1PF_2<PF_1，点 PP 在双曲线的右支，并且双曲线定义给出
PF1−PF2=2aPF_1-PF_2=2a
令 PF1=r1PF_1=r_1，PF2=r2PF_2=r_2，则 r2=r1er_2=\frac{r_1}{e}，从而 r1=2aee−1r_1=\frac{2ae}{e-1}，r2=2ae−1r_2=\frac{2a}{e-1}. 三角形存在的必要条件是 r1+r2>F1F2=2c=2aer_1+r_2>F_1F_2=2c=2ae，于是
2a(e+1)e−1>2ae⟺e2−2e−1<0\frac{2a(e+1)}{e-1}>2ae \quad\Longleftrightarrow\quad e^2-2e-1<0
结合双曲线离心率 e>1e>1，得
1<e<1+21<e<1+\sqrt2
反之，在此范围内，除
r1+r2>2cr_1+r_2>2c
外，还有 r2+2c−r1=2c−2a=2a(e−1)>0r_2+2c-r_1=2c-2a=2a(e-1)>0，r1+2c−r2=2a+2c>0r_1+2c-r_2=2a+2c>0. 所以三边 r1r_1，r2r_2，2c2c 满足三角形不等式，且 r1−r2=2ar_1-r_2=2a，可构成右支上一点 PP，故范围正是
(1,1+2)(1,1+\sqrt2)
\end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1(−c,0)F_1(-c,0)，F2(c,0)F_2(c,0). 若椭圆上存在一点 PP 使 asin⁡∠PF1F2=csin⁡∠PF2F1\frac{a}{\sin \angle PF_1F_2} = \frac{c}{\sin \angle PF_2F_1}，则该椭圆的离心率的取值范围为______.

2009 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=1AB = 1，BC=2BC = 2，B=60∘B = 60^{\circ}，则 AC=‾AC =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha，β∈(3π4,π)\beta \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)，sin⁡(α+β)=−35\sin (\alpha + \beta) = -\frac{3}{5}，sin⁡(β−π4)=1213\sin \left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{12}{13}，则 cos⁡(α+π4)=\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) =______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡α=255\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}，π2<α<π\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi，则 tan⁡α=\tan \alpha =______.

2006 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 均为锐角，且 cos⁡(α+β)=sin⁡(α−β)\cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha - \beta)，则 tan⁡α=\tan \alpha =______.

2005 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 均为锐角，且 cos⁡(α+β)=sin⁡(α−β)\cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha - \beta)，则 tan⁡α=\tan \alpha =______.

2005 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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