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共找到 37 题
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075分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，3sin⁡2αcos⁡α=8sin⁡αcos⁡2α3\sin 2\alpha \cos \alpha=8\sin \alpha \cos 2\alpha，则 1+sin⁡α2−cos⁡α=\frac{1+\sin \alpha}{2-\cos \alpha}=（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
12\frac{1}{2}
D.
512\frac{5}{12}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 7 题 · 选择题

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055分三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，BC=2BC=2，AC=1+3AC=1+\sqrt3，AB=6AB=\sqrt6，则 A=A=（ ）
A.
45∘45^\circ
B.
60∘60^\circ
C.
120∘120^\circ
D.
135∘135^\circ

2025 · 全国 · 二卷 · 第 5 题 · 选择题

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085分三角函数★★☆☆☆
已知 0<α<π0<\alpha<\pi，cos⁡α2=55\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt5}{5}，则 sin⁡(α−π4)=\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=（ ）
A.
210\frac{\sqrt2}{10}
B.
25\frac{\sqrt2}{5}
C.
3210\frac{3\sqrt2}{10}
D.
7210\frac{7\sqrt2}{10}

2025 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为锐角，cos⁡α=1+54\cos\alpha=\dfrac{1+\sqrt5}{4}，则 sin⁡α2=\sin\dfrac{\alpha}{2}=（ ）
A.
3−58\dfrac{3-\sqrt5}{8}
B.
−1+58\dfrac{-1+\sqrt5}{8}
C.
3−54\dfrac{3-\sqrt5}{4}
D.
−1+54\dfrac{-1+\sqrt5}{4}

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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065分三角函数★★★☆☆
若 sin⁡(α+β)+cos⁡(α+β)=22cos⁡(α+π4)sin⁡β\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)=2\sqrt2\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin\beta，则（ ）
A.
tan⁡(α−β)=1\tan(\alpha-\beta)=1
B.
tan⁡(α+β)=1\tan(\alpha+\beta)=1
C.
tan⁡(α−β)=−1\tan(\alpha-\beta)=-1
D.
tan⁡(α+β)=−1\tan(\alpha+\beta)=-1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
若 α\alpha 为第四象限角，则（ ）
A.
cos⁡2α>0\cos 2\alpha>0
B.
cos⁡2α<0\cos 2\alpha<0
C.
sin⁡2α>0\sin 2\alpha>0
D.
sin⁡2α<0\sin 2\alpha<0

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
下列函数中，以 π2\dfrac{\pi}{2} 为周期且在区间 (π4,π2)\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) 单调递增的是（ ）
A.
f(x)=∣cos⁡2x∣f(x)=|\cos 2x|
B.
f(x)=∣sin⁡2x∣f(x)=|\sin 2x|
C.
f(x)=cos⁡∣x∣f(x)=\cos|x|
D.
f(x)=sin⁡∣x∣f(x)=\sin|x|

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
已知 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)，2sin⁡2α=cos⁡2α+12\sin2\alpha=\cos2\alpha+1，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
15\dfrac15
B.
55\dfrac{\sqrt5}{5}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
255\dfrac{2\sqrt5}{5}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
若 x1=π4x_1=\dfrac{\pi}{4}，x2=3π4x_2=\dfrac{3\pi}{4} 是函数 f(x)=sin⁡ωxf(x)=\sin\omega x（ω>0\omega>0）两个相邻的极值点，则 ω=\omega=（ ）
A.
22
B.
32\dfrac32
C.
11
D.
12\dfrac12

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)，2sin⁡2α=cos⁡2α+12\sin2\alpha=\cos2\alpha+1，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
15\dfrac15
B.
55\dfrac{\sqrt5}{5}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
255\dfrac{2\sqrt5}{5}

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡C2=55\cos\dfrac C2=\dfrac{\sqrt5}{5}，BC=1BC=1，AC=5AC=5，则 AB=AB=（ ）
A.
424\sqrt2
B.
30\sqrt{30}
C.
29\sqrt{29}
D.
252\sqrt5

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
若 f(x)=cos⁡x−sin⁡xf(x)=\cos x-\sin x 在 [−a,a][-a,a] 是减函数，则 aa 的最大值是（ ）
A.
π4\dfrac{\pi}{4}
B.
π2\dfrac{\pi}{2}
C.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
D.
π\pi

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡C2=55\cos\dfrac{C}{2}=\dfrac{\sqrt5}{5}，BC=1BC=1，AC=5AC=5，则 AB=AB=（ ）.
A.
424\sqrt2
B.
30\sqrt{30}
C.
29\sqrt{29}
D.
252\sqrt5

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=cos⁡x−sin⁡xf(x)=\cos x-\sin x 在 [0,a][0,a] 是减函数，则 aa 的最大值是（ ）.
A.
π4\dfrac{\pi}{4}
B.
π2\dfrac{\pi}{2}
C.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
D.
π\pi

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
若 tan⁡α=2tan⁡π5\tan \alpha = 2\tan \frac{\pi}{5}，则 cos⁡(α−3π10)sin⁡(α−π5)=\frac{\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right)} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 记 β=π5\beta=\frac\pi5，则 3π10=π2−β\frac{3\pi}{10}=\frac\pi2-\beta. 利用 tan⁡α=2tan⁡β\tan\alpha=2\tan\beta 及两角和差公式，得
cos⁡(α−3π10)=cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta
sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
又因为 sin⁡α=2tan⁡βcos⁡α\sin\alpha=2\tan\beta\cos\alpha，所以 cos⁡(α−3π10)=3sin⁡βcos⁡α\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)=3\sin\beta\cos\alpha，sin⁡(α−β)=sin⁡βcos⁡α\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\beta\cos\alpha. 分母不为零，故所求比值为 33，答案为 C. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2015 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
若 tan⁡α=13\tan \alpha = \frac{1}{3}，tan⁡(α+β)=12\tan (\alpha + \beta) = \frac{1}{2}，则 tan⁡β=\tan \beta =（ ）
A.
17\frac{1}{7}
B.
16\frac{1}{6}
C.
57\frac{5}{7}
D.
56\frac{5}{6}

2015 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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10三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 满足 sin⁡2A+sin⁡(A−B+C)=sin⁡(C−A−B)+12\sin 2A + \sin (A - B + C) = \sin (C - A - B) + \frac{1}{2}，面积 SS 满足 1⩽S⩽21 \leqslant S \leqslant 2，记 aa，bb，cc 分别为 AA，BB，CC 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
bc(b+c)>8bc(b + c) > 8
B.
ab(a+b)>162ab(a + b) > 16\sqrt{2}
C.
6⩽abc⩽126 \leqslant abc \leqslant 12
D.
12⩽abc⩽2412 \leqslant abc \leqslant 24

2014 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4\cos 50^{\circ} - \tan 40^{\circ} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用余弦与正弦的互余关系，
4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4sin⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘=4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘.\begin{aligned} 4\cos50^{\circ}-\tan40^{\circ} &=4\sin40^{\circ}-\frac{\sin40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}\\ &=\frac{4\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}. \end{aligned}
又因为
sin⁡40∘+3cos⁡40∘=2sin⁡100∘=2sin⁡80∘\sin40^{\circ}+\sqrt{3}\cos40^{\circ} =2\sin100^{\circ}=2\sin80^{\circ}
所以
4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘=2sin⁡80∘−sin⁡40∘=3cos⁡40∘4\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ} =2\sin80^{\circ}-\sin40^{\circ} =\sqrt{3}\cos40^{\circ}
故原式等于 3\sqrt{3}，选 C. \end{solution}
A.
2\sqrt{2}
B.
2+32\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22−12\sqrt{2} - 1

2013 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
设 tan⁡α\tan \alpha，tan⁡β\tan \beta 是方程 x2−3x+2=0x^{2} - 3x + 2 = 0 的两根，则 tan⁡(α+β)\tan (\alpha + \beta) 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由韦达定理， tan⁡α+tan⁡β=3\tan\alpha+\tan\beta=3，tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2 由于 1−tan⁡αtan⁡β=−1≠01-\tan\alpha\tan\beta=-1\ne0，正切和公式可用，故
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=31−2=−3\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{3}{1-2}=-3
故选 A. \end{solution}
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2012 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
sin⁡47∘−sin⁡17∘cos⁡30∘cos⁡17∘=\frac{\sin 47^{\circ}-\sin 17^{\circ}\cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}=（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由和角公式，sin⁡47∘=sin⁡(17∘+30∘)=sin⁡17∘cos⁡30∘+cos⁡17∘sin⁡30∘\sin47^{\circ}=\sin(17^{\circ}+30^{\circ})=\sin17^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos17^{\circ}\sin30^{\circ}. 因此原式等于 cos⁡17∘sin⁡30∘cos⁡17∘=sin⁡30∘=12\frac{\cos17^{\circ}\sin30^{\circ}}{\cos17^{\circ}}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}，故选 C. \end{solution}
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2012 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边 aa，bb，cc 满足 (a+b)2−c2=4(a + b)^2 - c^2 = 4，且 C=60∘C = 60^\circ，则 abab 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理及 C=60∘C=60^\circ，得 c2=a2+b2−2abcos⁡60∘=a2+b2−abc^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab. 因此 (a+b)2−c2=a2+2ab+b2−(a2+b2−ab)=3ab=4(a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2-ab)=3ab=4，所以 ab=43ab=\frac{4}{3}，故选 A. \end{solution}
A.
43\frac{4}{3}
B.
8−438 - 4\sqrt{3}
C.
1
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 满足 6sin⁡A=4sin⁡B=3sin⁡C6\sin A = 4\sin B = 3\sin C，则 cos⁡B=\cos B =（ ）
A.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
B.
34\frac{3}{4}
C.
31516\frac{3\sqrt{15}}{16}
D.
1116\frac{11}{16}

2011 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=sin⁡(ωx+φ)y = \sin\left(\omega x + \varphi\right)（ω>0\omega > 0，∣φ∣<π2|\varphi| < \frac{\pi}{2}）的部分图象如图所示. 则（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由图象知，函数在 x=π3x=\frac{\pi}{3} 处取得最大值，因此 ωπ3+φ=π2\omega\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}. 又图象在 x=7π12x=\frac{7\pi}{12} 处过 xx 轴并由正变负，因此 ω7π12+φ=π\omega\frac{7\pi}{12}+\varphi=\pi. 两式相减得 ωπ4=π2\omega\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}，所以 ω=2\omega=2，代回得 φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}，故选 D. \end{solution}
A.
ω=1\omega = 1，φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6}
B.
ω=1\omega = 1，φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}
C.
ω=2\omega = 2，φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6}
D.
ω=2\omega = 2，φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}

2010 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
下列函数中，周期为 π\pi，且在 [π4,π2]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] 上为减函数的是（ ）
A.
y=sin⁡(2x+π2)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
B.
y=cos⁡(2x+π2)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
C.
y=sin⁡(x+π2)y = \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)
D.
y=cos⁡(x+π2)y = \cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right)

2010 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC，向量 m=(3sin⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{m} = (\sqrt{3} \sin A, \sin B)，n=(cos⁡B,3cos⁡A)\boldsymbol{n} = (\cos B, \sqrt{3} \cos A)，若 m⋅n=1+cos⁡(A+B)\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1 + \cos (A + B)，则 C=C =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由向量内积得
m⋅n=3sin⁡Acos⁡B+3sin⁡Bcos⁡A=3sin⁡(A+B)\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n} =\sqrt{3}\sin A\cos B+\sqrt{3}\sin B\cos A =\sqrt{3}\sin(A+B)
设 θ=A+B=π−C\theta=A+B=\pi-C，则 0<θ<π0<\theta<\pi，且题设化为
3sin⁡θ=1+cos⁡θ\sqrt{3}\sin\theta=1+\cos\theta
用半角公式，因 0<θ<π0<\theta<\pi，有 sin⁡(θ2)>0\sin(\frac{\theta}{2})>0 且 cos⁡(θ2)>0\cos(\frac{\theta}{2})>0，从而
23sin⁡θ2cos⁡θ2=2cos⁡2θ22\sqrt{3}\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2 =2\cos^{2}\frac\theta2
故 tan⁡(θ2)=13\tan(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{\sqrt{3}}. 于是 θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}，所以
C=π−θ=2π3C=\pi-\theta=\frac{2\pi}{3}
故选 C. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2009 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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