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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A+\sqrt3\cos A=2.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a=2，2bsin⁡C=csin⁡2B\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt3，DD 为 BCBC 的中点，且 AD=1AD=1.
(1) 若 ∠ADC=π3\angle ADC=\dfrac{\pi}{3}，求 tan⁡B\tan B； (2) 若 b2+c2=8b^2+c^2=8，求 bb，cc.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，分别以 aa，bb，cc 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1S_1，S2S_2，S3S_3. 已知 S1−S2+S3=32S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt3}{2}，sin⁡B=13\sin B=\frac13.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡Asin⁡C=23\sin A\sin C=\frac{\sqrt2}{3}，求 bb.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边长分别为 aa，bb，cc，b=a+1b=a+1，c=a+2c=a+2.
(1) 若 2sin⁡C=3sin⁡A2\sin C=3\sin A，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 是否存在正整数 aa，使得 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡2(π2+A)+cos⁡A=54\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2}+A \right)+\cos A=\dfrac{5}{4}.
(1) 求 AA； (2) 若 b−c=33ab-c=\dfrac{\sqrt3}{3}a，证明：△ABC\triangle ABC 是直角三角形.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(π2−x)sin⁡x−3cos⁡2xf(x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \sin x - \sqrt{3} \cos^2 x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f(x)f(x) 在 [π6,2π3]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right] 上的单调性.

2015 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=12sin⁡2x−3cos⁡2xf(x) = \frac{1}{2}\sin 2x - \sqrt{3}\cos^2 x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最小值； (2) 将函数 f(x)f(x) 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)g(x) 的图象，当 x∈[π2,π]x \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] 时，求 g(x)g(x) 的值域.

2015 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sqrt{3}\sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，−π2⩽φ<π2-\frac{\pi}{2} \leqslant \varphi < \frac{\pi}{2}）的图象关于直线 x=π3x = \frac{\pi}{3} 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π\pi.
(1) 求 ω\omega 和 φ\varphi 的值； (2) 若 f(α2)=34f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}（π6<α<2π3\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{2\pi}{3}），求 cos⁡(α+3π2)\cos \left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) 的值.

2014 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 a+b+c=8a + b + c = 8.
(1) 若 a=2a = 2，b=52b = \frac{5}{2}，求 cos⁡C\cos C 的值； (2) 若 sin⁡Acos⁡2B2+sin⁡Bcos⁡2A2=2sin⁡C\sin A \cos^2 \frac{B}{2} + \sin B \cos^2 \frac{A}{2} = 2 \sin C，且 △ABC\triangle ABC 的面积 S=92sin⁡CS = \frac{9}{2} \sin C，求 aa 和 bb 的值.

2014 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别是 aa，bb，cc，且 a2+b2+2ab=c2a^2 + b^2 + \sqrt{2}ab = c^2.
(1) 求 CC； (2) 设 cos⁡Acos⁡B=325\cos A\cos B = \frac{3\sqrt{2}}{5}，cos⁡(α+A)cos⁡(α+B)cos⁡2α=25\frac{\cos(\alpha + A)\cos(\alpha + B)}{\cos^2\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{5}，求 tan⁡α\tan \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由余弦定理，
cos⁡C=a2+b2−c22ab=−22\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
因为 CC 是三角形的内角，所以 C=3π4C=\frac{3\pi}{4}，从而
A+B=π−C=π4A+B=\pi-C=\frac{\pi}{4}
\item 记 t=tan⁡αt=\tan\alpha. 题目中的分式有意义，所以 cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0. 由 A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4}，
sin⁡Asin⁡B=cos⁡Acos⁡B−cos⁡(A+B)=325−22=210\sin A\sin B=\cos A\cos B-\cos(A+B)=\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}
将两角和公式展开并除以 cos⁡2α\cos^2\alpha，得
cos⁡(α+A)cos⁡(α+B)cos⁡2α=cos⁡Acos⁡B−tsin⁡(A+B)+t2sin⁡Asin⁡B\frac{\cos(\alpha+A)\cos(\alpha+B)}{\cos^2\alpha} =\cos A\cos B-t\sin(A+B)+t^2\sin A\sin B
代入已知条件，得到
325−22t+210t2=25\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{10}t^2=\frac{\sqrt{2}}{5}
两边同除以 210\frac{\sqrt{2}}{10}，得
t2−5t+4=0t^2-5t+4=0
所以
tan⁡α=t=1或t=4\tan\alpha=t=1\quad\text{或}\quad t=4
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a2=b2+c2+3bca^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{3}bc.
(1) 求 AA； (2) 设 a=3a = \sqrt{3}，SS 为 △ABC\triangle ABC 的面积，求 S+3cos⁡Bcos⁡CS + 3\cos B\cos C 的最大值. 并指出此时 BB 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由余弦定理
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A
与题设比较可得 −2bccos⁡A=3bc-2bc\cos A=\sqrt3bc，cos⁡A=−32\cos A=-\frac{\sqrt3}{2}. 因为 0<A<π0<A<\pi，所以
A=5π6A=\frac{5\pi}{6}
\item 由三角形内角和
B+C=π−A=π6B+C=\pi-A=\frac\pi6
又由正弦定理及 a=3a=\sqrt3、sin⁡A=12\sin A=\frac12，有 b=23sin⁡Bb=2\sqrt3\sin B，c=23sin⁡Cc=2\sqrt3\sin C. 令 t=B−Ct=B-C，则 −π6<t<π6-\frac\pi6<t<\frac\pi6，并且
sin⁡Bsin⁡C=cos⁡t−cos⁡(B+C)2=cos⁡t−322\sin B\sin C=\frac{\cos t-\cos(B+C)}2 =\frac{\cos t-\frac{\sqrt3}{2}}2
cos⁡Bcos⁡C=cos⁡t+cos⁡(B+C)2=cos⁡t+322\cos B\cos C=\frac{\cos t+\cos(B+C)}2 =\frac{\cos t+\frac{\sqrt3}{2}}2
三角形面积为
S=12bcsin⁡A=14bc=3sin⁡Bsin⁡CS=\frac12bc\sin A =\frac14bc =3\sin B\sin C
所以
S+3cos⁡Bcos⁡C=3sin⁡Bsin⁡C+3cos⁡Bcos⁡C=3cos⁡(B−C)=3cos⁡t⩽3S+3\cos B\cos C =3\sin B\sin C+3\cos B\cos C =3\cos(B-C)=3\cos t\leqslant3
当且仅当 t=0t=0，即 B=CB=C 时取等号. 此时
B=C=B+C2=π12B=C=\frac{B+C}{2}=\frac\pi{12}
故最大值为 33，且此时 B=π12B=\frac\pi{12}. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设 f(x)=4cos⁡(ωx−π6)sin⁡ωx−cos⁡(2ωx+π)f(x)=4\cos\left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\omega x-\cos(2\omega x+\pi)，其中 ω>0\omega>0.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的值域； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 [−3π2,π2]\left[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上为增函数，求 ω\omega 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 θ=ωx\theta=\omega x. 利用积化和差公式，
4cos⁡(θ−π6)sin⁡θ=2[sin⁡(2θ−π6)+sin⁡π6]=2sin⁡(2θ−π6)+14\cos\left(\theta-\frac\pi6\right)\sin\theta =2\left[\sin\left(2\theta-\frac\pi6\right)+\sin\frac\pi6\right] =2\sin\left(2\theta-\frac\pi6\right)+1
又 cos⁡(2θ+π)=−cos⁡2θ\cos(2\theta+\pi)=-\cos2\theta，所以
f(x)=1+2sin⁡(2θ−π6)+cos⁡2θ=1+3sin⁡2θ=1+3sin⁡(2ωx)f(x)=1+2\sin\left(2\theta-\frac\pi6\right)+\cos2\theta =1+\sqrt3\sin2\theta =1+\sqrt3\sin(2\omega x)
由于 −1≤sin⁡(2ωx)≤1-1\le\sin(2\omega x)\le1，函数值域为
[1−3,1+3]\left[1-\sqrt3,1+\sqrt3\right]
\item 由上式
f′(x)=23 ωcos⁡(2ωx)f'(x)=2\sqrt3\,\omega\cos(2\omega x)
因为 ω>0\omega>0，若 f(x)f(x) 在 [−3π2,π2]\left[-\frac{3\pi}{2},\frac\pi2\right] 上为增函数，就必须在该区间内有 cos⁡(2ωx)≥0\cos(2\omega x)\ge0. 当 xx 从 −3π2-\frac{3\pi}{2} 变化到 00 时，2ωx2\omega x 从 −3πω-3\pi\omega 变化到 00. 若 ω>16\omega>\frac16，则 −3πω<−π2-3\pi\omega<-\frac\pi2，这段自 −3πω-3\pi\omega 到 00 的区间必经过 cos⁡t<0\cos t<0 的部分，函数不可能在原区间上为增函数. 因而 ω≤16\omega\le\frac16.
当 ω≤16\omega\le\frac16 时，对 x∈[−3π2,π2]x\in\left[-\frac{3\pi}{2},\frac\pi2\right]，有
2ωx∈[−3πω,πω]⊆[−π2,π6]2\omega x\in\left[-3\pi\omega,\pi\omega\right] \subseteq\left[-\frac\pi2,\frac\pi6\right]
从而 cos⁡(2ωx)≥0\cos(2\omega x)\ge0，且函数在该区间上为增函数. 所以 ω\omega 的最大值为
16\frac16
\end{enumerate} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（其中 A>0A>0，ω>0\omega>0，−π<φ⩽π-\pi<\varphi\leqslant \pi）在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 处取得最大值 2，其图象与 xx 轴的相邻两个交点的距离为 π2\frac{\pi}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 求函数 g(x)=6cos⁡4x−sin⁡2x−1f(x+π6)g(x)=\frac{6\cos^{4}x-\sin^{2}x-1}{f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} 的值域.

2012 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，f(x)=cos⁡x(asin⁡x−cos⁡x)+cos⁡2(π2−x)f(x) = \cos x (a \sin x - \cos x) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) 满足 f(−π3)=f(0)f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = f(0)，求函数 f(x)f(x) 在 [π4,11π24]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{24}\right] 上的最大值和最小值.

2011 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡xcos⁡x−3cos⁡(π+x)cos⁡xf(x) = \sin x \cos x - \sqrt{3}\cos\left(\pi + x\right)\cos x （x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象按 b=(π4,32)\boldsymbol{b} = \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) 平移后得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象，求 y=g(x)y = g(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值.

2011 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(x+2π3)+2cos⁡2x2f(x) = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\cos^2 \frac{x}{2}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的值域； (2) 记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边长分别为 aa，bb，cc. 若 f(B)=1f(B) = 1，b=1b = 1，c=3c = \sqrt{3}，求 aa 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 2cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x，得 f(x)=1+cos⁡x+cos⁡(x+2π3)=1+12cos⁡x−32sin⁡x=1+cos⁡(x+π3)f(x)=1+\cos x+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=1+\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=1+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right). 因此 0⩽f(x)⩽20\leqslant f(x)\leqslant2，值域为 [0,2][0,2]. \item 由 f(B)=1f(B)=1 得 cos⁡(B+π3)=0\cos\left(B+\frac{\pi}{3}\right)=0，所以 B=π6+kπB=\frac{\pi}{6}+k\pi. 因为 0<B<π0<B<\pi，故 B=π6B=\frac{\pi}{6}. 在 △ABC\triangle ABC 中，由余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B，即 1=a2+3−2a3⋅32=a2−3a+31=a^2+3-2a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2-3a+3，从而 a2−3a+2=0a^2-3a+2=0，解得 a=1a=1 或 a=2a=2. 两者均满足 ∣3−1∣<a<3+1|\sqrt{3}-1|<a<\sqrt{3}+1，故 a=1a=1 或 a=2a=2. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边长分别为 aa，bb，cc，且 3b2+3c2−3a2=42bc3b^{2} + 3c^{2} - 3a^{2} = 4\sqrt{2}bc.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 求 2sin⁡(A+π4)sin⁡(B+C+π4)1−cos⁡2A\frac{2\sin\left(A + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(B + C + \frac{\pi}{4}\right)}{1 - \cos 2A} 的值.

2010 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡(π4x−π6)−2cos⁡2π8x+1f(x) = \sin \left(\frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{6}\right) - 2\cos^{2} \frac{\pi}{8}x + 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 若函数 y=g(x)y = g(x) 与 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=1x = 1 对称，求当 x∈[0,43]x \in \left[0, \frac{4}{3}\right] 时 y=g(x)y = g(x) 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 2cos⁡2u=1+cos⁡2u2\cos^{2}u=1+\cos2u，有
f(x)=sin⁡(πx4−π6)−cos⁡πx4=3sin⁡(πx4−π3)f(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\frac{\pi x}{4} =\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi}{3}\right)
正弦函数的自变量系数为 π4\frac{\pi}{4}，故最小正周期为
T=2ππ4=8T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8
\item 关于直线 x=1x=1 对称时，点 (x,g(x))(x,g(x)) 对应于 (2−x,f(2−x))(2-x,f(2-x))，所以
g(x)=f(2−x)=3sin⁡(π(2−x)4−π3)=3cos⁡(πx4+π3)g(x)=f(2-x)=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi(2-x)}4-\frac\pi3\right) =\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi x}{4}+\frac\pi3\right)
当 0⩽x⩽430\leqslant x\leqslant\frac{4}{3} 时，
π3⩽πx4+π3⩽2π3\frac\pi3\leqslant\frac{\pi x}{4}+\frac\pi3\leqslant\frac{2\pi}3
余弦函数在该区间的最大值为 12\frac{1}{2}，故 g(x)g(x) 的最大值为 32\frac{\sqrt3}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=(sin⁡ωx+cos⁡ωx)2+2cos⁡2ωxf(x) = (\sin \omega x + \cos \omega x)^2 + 2\cos^2 \omega x（ω>0\omega > 0）的最小正周期为 2π3\frac{2\pi}{3}.
(1) 求 ω\omega 的值. (2) 若函数 y=g(x)y = g(x) 的图象是由 y=f(x)y = f(x) 的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度得到，求 y=g(x)y = g(x) 的单调增区间.

2009 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 A=60∘A = 60^{\circ}，c=3bc = 3b. 求：
(1) ac\frac{a}{c} 的值； (2) cot⁡B+cot⁡C\cot B + \cot C 的值.

2008 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，M(−2,0)M(-2,0) 和 N(2,0)N(2,0) 是平面上的两点，动点 PP 满足： ∣PM∣+∣PN∣=6|PM| + |PN| = 6.
(1) 求点 PP 的轨迹方程； (2) 若 ∣PM∣⋅∣PN∣=21−cos⁡MPN|PM| \cdot |PN| = \frac{2}{1 - \cos MPN}，求点 PP 的坐标.

2008 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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