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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ，AB=2AB=2，AC=1AC=1.
(1) 求 sin⁡∠ABC\sin \angle ABC； (2) 若 DD 为 BCBC 上一点，且 ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ，求 △ADC\triangle ADC 的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin \left( A-B \right)=\sin B\sin \left( C-A \right).
(1) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2； (2) 若 a=5a=5，cos⁡A=2531\cos A=\frac{25}{31}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin\left(A-B\right)=\sin B\sin\left(C-A\right).
(1) 若 A=2BA=2B，求 CC； (2) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡2(π2+A)+cos⁡A=54\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2}+A \right)+\cos A=\dfrac{5}{4}.
(1) 求 AA； (2) 若 b−c=33ab-c=\dfrac{\sqrt3}{3}a，证明：△ABC\triangle ABC 是直角三角形.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 向量 m=(a,3b)\boldsymbol{m} = (a, \sqrt{3} b) 与 n=(cos⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin B) 平行.
(1) 求 AA； (2) 若 a=7a = \sqrt{7}，b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 向量 m=(a,3b)\boldsymbol{m} = (a, \sqrt{3}b) 与 n=(cos⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin B) 平行.
(1) 求 AA； (2) 若 a=7a = \sqrt{7}，b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 aa，bb，cc 成等差数列，证明：sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A + \sin C = 2 \sin (A + C). (2) 若 aa，bb，cc 成等比数列，求 cos⁡B\cos B 的最小值.

2014 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 aa，bb，cc 成等差数列，证明：sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A + \sin C = 2\sin (A + C)； (2) 若 aa，bb，cc 成等比数列，且 c=2ac = 2a，求 cos⁡B\cos B 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，存在 k>0k>0 使 a=ksin⁡Aa=k\sin A，b=ksin⁡Bb=k\sin B，c=ksin⁡Cc=k\sin C. 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b，从而 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡B\sin A+\sin C=2\sin B. 又 A+B+C=πA+B+C=\pi，故 sin⁡B=sin⁡(A+C)\sin B=\sin(A+C)，所以 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A+\sin C=2\sin(A+C).
\item 因为 aa，bb，cc 为三角形的边，均为正数. 设等比数列公比为 q>0q>0，则 b=aqb=aq，c=aq2c=aq^2. 由 c=2ac=2a 得 q2=2q^2=2，所以 b=2ab=\sqrt2a，c=2ac=2a. 在三角形 ABCABC 中对角 BB 使用余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B. 代入边长关系得 2a2=a2+4a2−4a2cos⁡B2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos B，所以 cos⁡B=34\cos B=\frac34. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,−12)\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\dfrac12\right)，b=(3sin⁡x,cos⁡2x)\boldsymbol{b}=\left(\sqrt3\sin x,\cos2x\right)，x∈Rx\in\mathbf{R}，设函数 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,−12)\boldsymbol{a} = \left(\cos x, -\frac{1}{2}\right)，b=(3sin⁡x,cos⁡2x)\boldsymbol{b} = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2x)，x∈Rx \in \mathbf{R}，设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 陕西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=Asin⁡(ωx−π6)+1f(x) = A \sin \left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) + 1（A>0A > 0，ω>0\omega > 0）的最大值为 33，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 π2\frac{\pi}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，f(α2)=2f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2，求 α\alpha 的值.

2012 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=Asin⁡(ωx−π6)+1f(x) = A \sin \left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) + 1（A>0A > 0，ω>0\omega > 0）的最大值为 33，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 π2\frac{\pi}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，f(α2)=2f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2，求 α\alpha 的值.

2012 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20三角函数★★☆☆☆
叙述并证明余弦定理.

2011 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
叙述并证明余弦定理.

2011 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17三角函数★★★★☆
如图，AA，BB 是海面上位于东西方向相距 5(3+3)5(3 + \sqrt{3}) 海里的两个观测点. 现位于 AA 点北偏东 45∘45^\circ，BB 点北偏西 60∘60^\circ 的 DD 点有一艘轮船发出求救信号，位于 BB 点南偏西 60∘60^\circ 且与 BB 点相距 20320\sqrt{3} 海里的 CC 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 3030 海里/小时，该救援船到达 DD 点需要多长时间？

2010 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠B=45∘\angle B = 45^{\circ}，DD 是 BCBC 边上的一点，AD=10AD = 10，AC=14AC = 14，DC=6DC = 6. 求 ABAB 的长.

2010 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f\left(x\right) = A \sin\left(\omega x + \varphi\right)，x∈Rx \in \mathbf{R} （其中 A>0A > 0，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}）的图象与 xx 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 π2\frac{\pi}{2}，且图象上一个最低点为 M(2π3,−2)M\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right).
(1) 求 f(x)f\left(x\right) 的解析式； (2) 当 x∈[π12,π2]x \in \left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]，求 f(x)f\left(x\right) 的值域.

2009 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
(1) 已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi)，x∈Rx \in \mathbf{R}（其中 A>0A > 0，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}）的周期为 π\pi，且图象上一个最低点为 M(2π3,−2)M\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right). 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 当 x∈[0,π12]x \in \left[0, \frac{\pi}{12}\right] 时，求 f(x)f(x) 的最值.

2009 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x4cos⁡x4−23sin⁡2x4+3f(x) = 2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4} - 2\sqrt{3}\sin^2 \frac{x}{4} + \sqrt{3}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及最值； (2) 令 g(x)=f(x+π3)g(x) = f\left(x + \frac{\pi}{3}\right)，判断函数 g(x)g(x) 的奇偶性，并说明理由.

2008 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x4cos⁡x4+3cos⁡x2f(x) = 2\sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及最值； (2) 令 g(x)=f(x+π3)g(x) = f\left(x + \frac{\pi}{3}\right)，判断函数 g(x)g(x) 的奇偶性，并说明理由.

2008 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，其中向量 a=(m,cos⁡2x)\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)，b=(1+sin⁡2x,1)\boldsymbol{b} = (1 + \sin 2x, 1)，x∈Rx \in \mathbf{R}，且函数 y=f(x)y = f(x) 的图象经过点 (π4,2)\left(\frac{\pi}{4}, 2\right).
(1) 求实数 mm 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最小值及此时 xx 值的集合.

2007 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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