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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\frac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=3a=3，b−c=2b-c=2，cos⁡B=−12\cos B=-\dfrac12.
(1) 求 bb，cc 的值； (2) 求 sin⁡(B−C)\sin(B-C) 的值.

2019 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=3a=3，b−c=2b-c=2，cos⁡B=−12\cos B=-\dfrac12.
(1) 求 bb，cc 的值； (2) 求 sin⁡(B+C)\sin(B+C) 的值.

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 b+c=2ab+c=2a，3csin⁡B=4asin⁡C3c\sin B=4a\sin C.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin \left( 2B+\dfrac{\pi}{6} \right) 的值.

2019 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=excos⁡xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 x∈[π4,π2]x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right] 时，证明 f(x)+g(x)(π2−x)≥0f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0； (3) 设 xnx_n 为函数 u(x)=f(x)−1u(x)=f(x)-1 在区间 (2nπ+π4,2nπ+π2)\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right) 内的零点，其中 n∈Nn\in \mathbf{N}，证明 2nπ+π2−xn<e−2nπsin⁡x0−cos⁡x02n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}.

2019 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 b+c=2ab+c=2a，3csin⁡B=4asin⁡C3c\sin B=4a\sin C.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin\left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right) 的值.

2019 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段 ABAB 和四分之一圆弧 BC^\widehat{BC} 构成，DD 为一海岛，BB 在 DD 的正北方向，且 BB，DD 相距 39.2 千米39.2\text{ 千米}，AA 在 DD 的北偏西 58∘58^\circ 方向，CC 在 DD 的北偏东 22∘22^\circ 方向，CC 在 BB 的南偏东 68∘68^\circ 方向.
(1) 若沿弧 BC^\widehat{BC} 建观光道，计算该观光道的长度；（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}） (2) 现规划在该海岸线上选取一点 EE，修建从 EE 直通 DD 的公路桥，已知 AA，BB 相距 40 千米40\text{ 千米}，求公路桥 DEDE 的最短长度.（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}）

2019 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差 d∈(0,π]d\in(0,\pi]，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=sin⁡(an)b_n=\sin(a_n)，集合 S={x∣x=bn,n∈N∗}S=\{x\mid x=b_n,n\in\mathbf{N}^*\}.
(1) 若 a1=0a_1=0，d=2π3d=\dfrac{2\pi}{3}，求集合 SS； (2) 若 a1=π2a_1=\dfrac{\pi}{2}，求 dd 使得集合 SS 恰好有两个元素； (3) 若集合 SS 恰好有三个元素：bn+T=bnb_{n+T}=b_n，TT 是不超过 7 的正整数，求 TT 的所有可能的值.

2019 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 a=3ca=3c，b=2b=\sqrt2，cos⁡B=23\cos B=\dfrac23，求 cc 的值； (2) 若 sin⁡Aa=cos⁡B2b\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}，求 sin⁡(B+π2)\sin\left(B+\dfrac{\pi}{2}\right) 的值.

2019 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 已知 θ∈[0,2π)\theta\in[0,2\pi)，函数 f(x+θ)f(x+\theta) 是偶函数，求 θ\theta 的值； (2) 求函数 y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2 的值域.

2019 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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