设函数 $f(x) = \sin\omega x + \cos\omega x$ ($\omega > 0$), 若 $f(x + \pi) = f(x)$ 恒成立, 且 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点, 则 $\omega$ 的最小值为 （ ）