在 $\triangle ABC$ 中, $BC = 2$, $AC = 1 + \sqrt{3}$, $AB = \sqrt{6}$, 则 $\angle A =$ （ ）

小申同学观察发现, 生活中有时候影子可以完全投射在斜面上。某斜面上有两根长为 $1$ 米且垂直于水平面放置的杆子, 与斜面的接触点分别为 $A$、$B$, 它们在阳光的照射下呈现出影子, 阳光可视为平行光, 其中 $A$ 处杆子的影子在水平面上, 长度为 $0.4$ 米, $B$ 处杆子的影子完全在斜面上, 长度为 $0.45$ 米。则斜面的坡角 $\theta =$______。(结果精确到 $0.01^\circ$)

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{1}{4}$，$\cos 2A+\cos 2B+2\sin C=2$，$\cos A\cos B\sin C=\dfrac{1}{4}$，则（ ）

在 $\triangle ABC$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$。已知 $a\sin B = \sqrt{3}b\cos A$, $c - 2b = 1$, $a = \sqrt{7}$。

(1) 求角 $A$ 的大小;

(2) 求 $c$ 的值;

(3) 求 $\sin(A + 2B)$ 的值。

在 $\triangle ABC$ 中, $\cos A = -\frac{1}{3}$, $a\sin C = 4\sqrt{2}$。

(1) 求 $c$ 的值;

(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 $\triangle ABC$ 存在, 求 $BC$ 边上的高。

条件①: $a = 6$; 条件②: $a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}$; 条件③: $\triangle ABC$ 的面积为 $10\sqrt{2}$。