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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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05平面向量★☆☆☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，a=(2,5)\boldsymbol{a}=(2,5)，b=(6,k)\boldsymbol{b}=(6,k)，且 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 k=k=______.

2024 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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02平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(−2,3)\boldsymbol{a}=\left(-2,3\right)，b=(1,2)\boldsymbol{b}=\left(1,2\right)，则 a⋅b=‾\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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11平面向量★★★☆☆
已知平面非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 的模均为 λ\lambda，若 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，a⋅c=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2，b⋅c=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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04平面向量★☆☆☆☆
如图正方形 ABCDABCD 的边长为 33，求 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=______.

2021 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，…\ldots，bk\boldsymbol{b}_k（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）是平面内两两互不相等的向量，满足 ∣a1−a2∣=1|\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2|=1，且 ∣ai−bj∣∈{1,2}|\boldsymbol{a}_i-\boldsymbol{b}_j|\in\{1,2\}（其中 i=1i=1，22，j=1j=1，22，…\ldots，kk），则 kk 的最大值是______.

2020 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0,2)\boldsymbol{a}=(1,0,2)，b=(2,1,0)\boldsymbol{b}=(2,1,0)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为______.

2019 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
过 y2=4xy^2=4x 的焦点 FF 并垂直于 xx 轴的直线分别与 y2=4xy^2=4x 交于 AA，BB，AA 在 BB 上方，MM 为抛物线上一点，OM→=λOA→+(λ−2)OB→\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+(\lambda-2)\overrightarrow{OB}，则 λ=\lambda=______.

2019 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0)，EE，FF 是 yy 轴上的两个动点，且 ∣EF→∣=2\lvert\overrightarrow{EF}\rvert=2，则 AE→⋅BF→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF} 的最小值为______.

2018 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知实数 x1x_1，x2x_2，y1y_1，y2y_2 满足：x12+y12=1x_1^2+y_1^2=1，x22+y22=1x_2^2+y_2^2=1，x1x2+y1y2=12x_1x_2+y_1y_2=\frac12，则 ∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2} 的最大值为______.

2018 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 BP→⋅BA→\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，已知点 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 OP→⋅BA→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，且 {∣a∣,∣b∣,∣c∣}={1,2,3}\{|\boldsymbol{a}|, |\boldsymbol{b}|, |\boldsymbol{c}|\} = \{1, 2, 3\}，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| 的最大值是______.

2015 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.
\begin{answer} [2,3][2,3] \end{answer}
\begin{solution} 设 P=(x,y)P=(x,y)，则由曲线方程知 −2⩽x⩽0-2\leqslant x\leqslant0，且 QQ 在直线 x=6x=6 上. 向量等式等价于 P+Q=2A=(2m,0)P+Q=2A=(2m,0)，所以 Q=(6,−y)Q=(6,-y)，并且 2m=x+62m=x+6. 因此 m=x+62m=\dfrac{x+6}{2}，随 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 取遍 [2,3][2,3]. 反过来，左半圆上每个 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 都有相应的 yy，故区间内每个 mm 都能实现，所求范围为 [2,3][2,3]. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11. 记以 AA 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，a3\boldsymbol{a}_3；以 CC 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c1\boldsymbol{c}_1，c2\boldsymbol{c}_2，c3\boldsymbol{c}_3. 若 ii，jj，kk，l∈{1,2,3}l \in \{1, 2, 3\} 且 i≠ji \neq j，k≠lk \neq l，则 (ai+aj)⋅(ck+cl)\left(\boldsymbol{a}_i + \boldsymbol{a}_j\right) \cdot \left(\boldsymbol{c}_k + \boldsymbol{c}_l\right) 的最小值是______.
\begin{answer} −5-5 \end{answer}
\begin{solution} 不妨按 BB，CC，DD 的顺序编号从 AA 引出的三个向量，按 AA，BB，DD 的顺序编号从 CC 引出的三个向量. 建立坐标系 A=(0,0)A=(0,0)，B=(1,0)B=(1,0)，C=(1,1)C=(1,1)，D=(0,1)D=(0,1). 于是 a1=(1,0)\boldsymbol{a}_1=(1,0)，a2=(1,1)\boldsymbol{a}_2=(1,1)，a3=(0,1)\boldsymbol{a}_3=(0,1) 以及 c1=(−1,−1)\boldsymbol{c}_1=(-1,-1)，c2=(0,−1)\boldsymbol{c}_2=(0,-1)，c3=(−1,0)\boldsymbol{c}_3=(-1,0). 任取两个不同下标时，两个向量和分别可能为
ai+aj∈{(2,1),(1,1),(1,2)}\boldsymbol{a}_i+\boldsymbol{a}_j\in\{(2,1),(1,1),(1,2)\}
ck+cl∈{(−1,−2),(−2,−1),(−1,−1)}\boldsymbol{c}_k+\boldsymbol{c}_l\in\{(-1,-2),(-2,-1),(-1,-1)\}
当第一向量和依次取 (2,1)(2,1)、(1,1)(1,1)、(1,2)(1,2) 时，与上述三个第二向量和的数量积依次为 (−4,−5,−3)(-4,-5,-3)、(−3,−3,−2)(-3,-3,-2)、(−5,−4,−3)(-5,-4,-3). 因而所有可能值的最小值为 −5-5. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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04解析几何★★☆☆☆
若 n=(−2,1)\boldsymbol{n} = (-2,1) 是直线 ll 的一个法向量，则 ll 的倾斜角的大小为______. （结果用反三角函数值表示）

2012 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，∠A=π3\angle A = \frac{\pi}{3}，边 ABAB，ADAD 的长分别为 22，11. 若 MM，NN 分别是边 BCBC，CDCD 上的点，且满足 ∣BM∣∣BC∣=∣CN∣∣CD∣\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}，则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在矩形 ABCDABCD 中，边 ABAB、ADAD 的长分别为 22、11. 若 MM、NN 分别是 BCBC、CDCD 上的点，且满足 ∣BM∣∣BC∣=∣CN∣∣CD∣\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}，则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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11平面向量★★☆☆☆
在正三角形 ABCABC 中，DD 是 BCBC 上的点. 若 AB=3AB = 3，BD=1BD = 1，则 AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =______.

2011 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在正三角形 ABCABC 中，DD 是 BCBC 上的点. 若 AB=3AB = 3，BD=1BD = 1，则 AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =______.

2011 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
如图所示，直线 x=2x = 2 与双曲线 Γ:x24−y2=1\Gamma: \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 的渐近线交于 E1E_1，E2E_2 两点，记 OE1→=e1\overrightarrow{OE_1} = \boldsymbol{e}_1，OE2→=e2\overrightarrow{OE_2} = \boldsymbol{e}_2，任取双曲线 Γ\Gamma 上的点 PP，若 OP→=ae1+be2\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），则 aa，bb 满足的一个等式是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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