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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
已知点 AA 的坐标为 (43,1)(4\sqrt{3}, 1)，将 OAOA 绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 至 OBOB，则点 BB 的纵坐标为（ ）
A.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
B.
532\frac{5\sqrt{3}}{2}
C.
112\frac{11}{2}
D.
132\frac{13}{2}

2015 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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16平面向量★★☆☆☆
如图，44 个棱长为 11 的正方体排成一个正四棱柱，ABAB 是一条侧棱，PiP_{i} （i=1i=1，22，⋯\cdots，88） 是上底面上其余的八个点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_{i}} （i=1i=1，22，⋯\cdots，88） 的不同值的个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8

2014 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17平面向量★★☆☆☆
如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，ABAB 是大正方形的一边，PiP_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 是小正方形的其余顶点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_i}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 的不同值的个数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 以 AA 为原点，令 ABAB 方向为纵轴正方向，建立直角坐标系，则 A=(0,0)A=(0,0)、B=(0,2)B=(0,2)，且七个点的纵坐标分别只能为 00、11、22. 对任一点 Pi=(u,v)P_i=(u,v)，有 AB→=(0,2)\overrightarrow{AB}=(0,2)、APi→=(u,v)\overrightarrow{AP_i}=(u,v)，所以 AB→⋅APi→=2v\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_i}=2v. 其不同值为 00、22、44，共 33 个，选 C. \end{solution}
A.
77
B.
55
C.
33
D.
11

2014 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18平面向量★★★★★
在边长为 11 的正六边形 ABCDEFABCDEF 中，记以 AA 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，a3\boldsymbol{a}_3，a4\boldsymbol{a}_4，a5\boldsymbol{a}_5；以 DD 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1\boldsymbol{d}_1，d2\boldsymbol{d}_2，d3\boldsymbol{d}_3，d4\boldsymbol{d}_4，d5\boldsymbol{d}_5. 若 mm，MM 分别为 (ai+aj+ak)⋅(dr+ds+dt)(\boldsymbol{a}_i+\boldsymbol{a}_j+\boldsymbol{a}_k)\cdot(\boldsymbol{d}_r+\boldsymbol{d}_s+\boldsymbol{d}_t) 的最小值，最大值，其中 {i,j,k}⊆{1,2,3,4,5}\{i,j,k\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}，{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5}\{r,s,t\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}，则 mm，MM 满足（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 取正六边形外接圆圆心为原点，令 A=(1,0)A=(1,0)， B=(12,32)\ B=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)， C=(−12,32)\ C=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)， D=(−1,0)\ D=(-1,0) 并按顺序取 EE，FF. 则从 AA 出发的五个向量的 xx 分量为 −12-\frac12，−32-\frac32，−2-2，−32-\frac32，−12-\frac12 从 DD 出发的五个向量的 xx 分量为 22，32\frac32，12\frac12，12\frac12，32\frac32. 任取其中三个，前一组向量和的 xx 分量不大于
−12−12−32=−52-\frac12-\frac12-\frac32=-\frac52
后一组向量和的 xx 分量不小于
12+12+32=52\frac12+\frac12+\frac32=\frac52
两组向量的 yy 分量分别由两个 32\frac{\sqrt3}{2}、两个 −32-\frac{\sqrt3}{2} 和一个 00 中任取三个相加，故各自绝对值不超过 3\sqrt3. 设两组和分别为 (X,Y)(X,Y)、(U,V)(U,V)，则 XU⩽−254XU\leqslant-\frac{25}{4}，YV⩽∣Y∣∣V∣⩽3YV\leqslant|Y||V|\leqslant3. 所以任意一个题设点积均满足
(X,Y)⋅(U,V)=XU+YV⩽−254+3=−134<0(X,Y)\cdot(U,V)=XU+YV\leqslant-\frac{25}{4}+3=-\frac{13}{4}<0
因此其最大值 M<0M<0，最小值自然也满足 m<0m<0，故选 D. \end{solution}
A.
m=0m=0，M>0M>0
B.
m<0m<0，M>0M>0
C.
m<0m<0，M=0M=0
D.
m<0m<0，M<0M<0

2013 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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17平面向量★★☆☆☆
设 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5 是平面上给定的 5 个不同点，则使 MA1→+MA2→+MA3→+MA4→+MA5→=0\overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{MA_2} + \overrightarrow{MA_3} + \overrightarrow{MA_4} + \overrightarrow{MA_5} = \boldsymbol{0} 成立的点 MM 的个数为（ ）
A.
00
B.
11
C.
55
D.
1010

2011 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18平面向量★★☆☆☆
设 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4} 是平面上给定的 4 个不同点，则使 MA1→+MA2→+MA3→+MA4→=0→\overrightarrow{MA_{1}} + \overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MA_{3}} + \overrightarrow{MA_{4}} = \overrightarrow{0} 成立的点 MM 的个数为（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
4

2011 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
直角坐标系 xOyxOy 中，i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形 ABCABC 中，若 AB→=2i+j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}，AC→=3i+kj\overrightarrow{AC} = 3\boldsymbol{i} + k\boldsymbol{j}，则 kk 的可能个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2007 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A.
AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
B.
AD→+AB→=AC→\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}
C.
AB→−AD→=BD→\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}
D.
AD→+CB→=0→\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}

2006 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A.
AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
B.
AD→+AB→=AC→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}
C.
AB→−AD→=BD→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}
D.
AD→+CB→=0→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}

2006 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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