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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设常数 t>2t>2. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F(2,0)F(2,0)，直线 l:x=tl:x=t，曲线 Γ:y2=8x\Gamma:y^2=8x（0≤x≤t0\le x\le t，y≥0y\ge0），ll 与 xx 轴交于点 AA，与 Γ\Gamma 交于点 BB. PP，QQ 分别是曲线 Γ\Gamma 与线段 ABAB 上的动点.
(1) 用 tt 表示点 BB 到点 FF 的距离； (2) 设 t=3t=3，∣FQ∣=2\lvert FQ\rvert=2，线段 OQOQ 的中点在直线 FPFP 上，求 △AQP\triangle AQP 的面积； (3) 设 t=8t=8，是否存在以 FPFP，FQFQ 为邻边的矩形 FPEQFPEQ，使得点 EE 在 Γ\Gamma 上？若存在，求点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2018 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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23平面向量★★★★★
对于数集 X={−1,x1,x2,⋯ ,xn}X = \{-1, x_1, x_2, \cdots, x_n\}，其中 0<x1<x2<⋯<xn0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n，n⩾2n \geqslant 2，定义向量集 Y={a∣a=(s,t),s∈X,t∈X}Y = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (s, t), s \in X, t \in X\}. 若对任意 a1∈Y\boldsymbol{a}_1 \in Y，存在 a2∈Y\boldsymbol{a}_2 \in Y，使得 a1⋅a2=0\boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 = 0，则称 XX 具有性质 PP. 例如 {−1,1,2}\{-1, 1, 2\} 具有性质 PP.
(1) 若 x>2x > 2，且 {−1,1,2,x}\{-1, 1, 2, x\} 具有性质 PP，求 xx 的值； (2) 若 XX 具有性质 PP，求证： 1∈X1 \in X，且当 xn>1x_n > 1 时，x1=1x_1 = 1； (3) 若 XX 具有性质 PP，且 x1=1x_{1} = 1，x2=qx_{2} = q （qq 为常数），求有穷数列 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的通项公式.

2012 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ\Gamma 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 PP 的坐标为 (−a,b)(-a, b).
(1) 若直角坐标平面上的点 MM，A(0,−b)A(0, -b)，B(a,0)B(a, 0) 满足 PM→=12(PA→+PB→)\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})，求点 MM 的坐标； (2) 设直线 l1:y=k1x+pl_1: y = k_1x + p 交椭圆 Γ\Gamma 于 CC，DD 两点，交直线 l2:y=k2xl_2: y = k_2x 于点 EE. 若 k1⋅k2=−b2a2k_1 \cdot k_2 = -\frac{b^2}{a^2}，证明： EE 为 CDCD 的中点； (3) 对于椭圆 Γ\Gamma 上的点 Q(acos⁡θ,bsin⁡θ)Q(a\cos \theta, b\sin \theta) （0<θ<π0 < \theta < \pi） ，如果椭圆 Γ\Gamma 上存在不同的两点 P1P_1，P2P_2 使 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_1} + \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{PQ}，写出求作点 P1P_1，P2P_2 的步骤，并求出使 P1P_1，P2P_2 存在的 θ\theta 满足的条件.

2010 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，设向量 m=(a,b)\boldsymbol{m} = (a, b)，n=(sin⁡B,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\sin B, \sin A)，p=(b−2,a−2)\boldsymbol{p} = (b - 2, a - 2).
(1) 若 m∥n\boldsymbol{m} \parallel \boldsymbol{n}，求证：△ABC\triangle ABC 为等腰三角形； (2) 若 m⊥p\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{p}，边长 c=2c = 2，角 C=π3C = \frac{\pi}{3}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1.
(1) 求双曲线 CC 的渐近线方程； (2) 已知点 MM 的坐标为 (0,1)(0,1). 设 PP 是双曲线 CC 上的点，QQ 是点 PP 关于原点的对称点. 记 λ=MP→⋅MQ→\lambda = \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ}，求 λ\lambda 的取值范围； (3) 已知点 DD，EE，MM 的坐标分别为 (−2,−1)(-2, -1)，(2,−1)(2, -1)，(0,1)(0, 1)，PP 为双曲线 CC 上在第一象限内的点. 记 ll 为经过原点与点 PP 的直线，ss 为 △DEM\triangle DEM 截直线 ll 所得线段的长. 试将 ss 表示为直线 ll 的斜率 kk 的函数.

2008 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 与抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 相交于 AA，BB 两点.
(1) 求证：“如果直线 ll 过点 T(3,0)T(3,0)，那么 OA→⋅OB→=3\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3” 是真命题； (2) 写出第一问中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

2006 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
在直角坐标平面中，已知点 P1(1,2)P_{1}(1,2)，P2(2,22)P_{2}(2,2^{2})，P3(3,23)P_{3}(3,2^{3})，⋯\cdots，Pn(n,2n)P_{n}(n,2^{n})，其中 nn 是正整数，对平面上任一点 A0A_{0}，记 A1A_{1} 为 A0A_{0} 关于点 P1P_{1} 的对称点，A2A_{2} 为 A1A_{1} 关于点 P2P_{2} 的对称点，⋯\cdots，AnA_{n} 为 An−1A_{n-1} 关于点 PnP_{n} 的对称点.
(1) 求向量 A0A2→\overrightarrow{A_{0}A_{2}} 的坐标； (2) 当点 A0A_{0} 在曲线 CC 上移动时，点 A2A_{2} 的轨迹是函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，其中 f(x)f(x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈(0,3]x \in (0,3] 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 求以曲线 CC 为图象的函数在 (1,4](1,4] 上的解析式； (3) 对任意偶数 nn，用 nn 表示向量 A0An→\overrightarrow{A_{0}A_{n}} 的坐标.

2005 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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