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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2，原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\dfrac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2}b. (2) 设 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}，过原点 OO 作直线 Q1Q2Q_{1}Q_{2} 的垂线 ODOD，垂足为 DD，求点 DD 的轨迹方程.

2007 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2. 原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\frac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2} b. (2) 求 t∈(0,b)t \in (0, b) 使得下述命题成立：设圆 x2+y2=t2x^{2} + y^{2} = t^{2} 上任意点 M(x0,y0)M(x_{0}, y_{0}) 处的切线交椭圆于 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 两点，则 OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}.

2007 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，以椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的中心 OO 为圆心，分别以 aa 和 bb 为半径作大圆和小圆. 过椭圆右焦点 F(c,0)F(c,0)（c>bc>b）作垂直于 xx 轴的直线交大圆于第一象限内的点 AA. 连结 OAOA 交小圆于点 BB. 设直线 BFBF 是小圆的切线.
(1) 证明 c2=abc^2=ab，并求直线 BFBF 与 yy 轴的交点 MM 的坐标； (2) 设直线 BFBF 交椭圆于 PP，QQ 两点，证明：OP→⋅OQ→=12b2\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}b^2.

2006 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 米BC=80\text{ 米}，塔所在的山高 OB=220 米OB=220\text{ 米}，OA=200 米OA=200\text{ 米}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan\alpha=\dfrac12. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？（不计此人的身高）

2005 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y=ax^2（a<0a<0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）作斜率为 k1k_1，k2k_2 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_1,y_1)，B(x2,y2)B(x_2,y_2) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同）， 且满足 k2+λk1=0k_2+\lambda k_1=0（λ≠0\lambda\ne0，λ≠−1\lambda\ne-1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{MA}， 证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda=1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1,-1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_1 的取值范围.

2005 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 mBC = 80\mathrm{~m}，塔所在的山高 OB=220 mOB = 220\mathrm{~m}，OA=200 mOA = 200\mathrm{~m}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？ （不计此人的身高）

2005 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y = ax^{2}（a<0a < 0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_{0}, y_{0})（x0≠0x_{0} \neq 0）作斜率为 k1k_{1}，k2k_{2} 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2}, y_{2}) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同），且满足 k2+λk1=0k_{2} + \lambda k_{1} = 0（λ≠0\lambda \neq 0，λ≠−1\lambda \neq -1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{MA}，证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda = 1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1, -1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_{1} 的取值范围.

2005 · 天津 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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