在边长为 1 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为线段 $CD$ 的三等分点，$CE=\frac12DE$，$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$，则 $\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}$；$F$ 为线段 $BE$ 上的动点，$G$ 为 $AF$ 中点，则 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG}$ 的最小值为______.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\frac12$. 左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，$C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 $S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}$.

(1) 求椭圆方程； (2) 过点 $\left(0,-\frac32\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P$，$Q$. 在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0$？若存在，求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.