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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(0,1)\boldsymbol{a}=(0,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x)，若 b⊥(b−4a)\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=3|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}，∣a−2b∣=3|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|=3，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,1)\boldsymbol{a}=(2,1)，b=(−2,4)\boldsymbol{b}=(-2,4)，则 ∣a−b∣=\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过点 (−2,0)(-2,0) 且斜率为 23\frac23 的直线与 CC 交于 MM，NN 两点，则 FM→⋅FN→=\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 AB→=2a\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a}，AC→=2a+b\overrightarrow{AC} = 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}，则下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 由 BC→=AC→−AB→=b\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}，且三角形为边长 22 的等边三角形，得 ∣2a∣=2|2\boldsymbol{a}|=2，∣b∣=∣BC→∣=2|\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{BC}|=2. 又由 ∣2a+b∣=2|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2，并且 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，可得 4+4a⋅b+4=44+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4=4，a⋅b=−1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1. 所以 A、B、C 均不正确. 最后
(4a+b)⋅BC→=(4a+b)⋅b=4(−1)+4=0(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\overrightarrow{BC}=(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=4(-1)+4=0
故 (4a+b)⊥BC→(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\overrightarrow{BC}，选 D. \end{solution}
A.
∣b∣=1|\boldsymbol{b}| = 1
B.
a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
C.
a⋅b=1\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1
D.
(4a+b)⊥BC→(4\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\perp \overrightarrow{BC}

2015 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，点 QQ 满足 OQ→=2(a+b)\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}). 曲线 C={P∣OP→=acos⁡θ+bsin⁡θ,0⩽θ<2π}C = \left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{a} \cos \theta + \boldsymbol{b} \sin \theta, 0 \leqslant \theta < 2\pi\right\}，区域 Ω={P∣0<r⩽∣PQ→∣⩽R,r<R}\Omega = \left\{P \mid 0 < r \leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right| \leqslant R, r < R\right\}. 若 C∩ΩC \cap \Omega 为两段分离的曲线，则（ ）
\begin{solution} 取 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面内两条互相垂直的单位向量作为坐标基底，则点 PP 的坐标可表示为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)，点 QQ 的坐标为 (2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2}). 因而 ∣PQ→∣2=(cos⁡θ−2)2+(sin⁡θ−2)2=5−22(cos⁡θ+sin⁡θ)=5−4cos⁡(θ−π4)\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert^{2}=(\cos\theta-\sqrt{2})^{2}+(\sin\theta-\sqrt{2})^{2}=5-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)=5-4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right).
所以 ∣PQ→∣\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert 的最小值为 11，最大值为 33，且在圆 CC 上分别只有一个最小点和一个最大点. 若 r⩽1r\leqslant1，内边界不会截去最小点附近的弧段；若 R⩾3R\geqslant3，外边界不会截去最大点附近的弧段，这两种情形都不能得到两段分离的曲线. 只有 1<r<R<31<r<R<3 时，内、外两个边界分别截去最小点和最大点附近的弧段，剩余部分恰为两段分离的曲线，故选 A. \end{solution}
A.
1<r<R<31 < r < R < 3
B.
1<r<3⩽R1 < r < 3 \leqslant R
C.
r⩽1<R<3r \leqslant 1 < R < 3
D.
1<r<3<R1 < r < 3 < R

2014 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为非零向量，∣b∣=2∣a∣\left|\boldsymbol{b}\right| = 2\left|\boldsymbol{a}\right|，两组向量 x1\boldsymbol{x}_1，x2\boldsymbol{x}_2，x3\boldsymbol{x}_3，x4\boldsymbol{x}_4 和 y1\boldsymbol{y}_1，y2\boldsymbol{y}_2，y3\boldsymbol{y}_3，y4\boldsymbol{y}_4 均由 2 个2\text{ 个} a\boldsymbol{a} 和 2 个2\text{ 个} b\boldsymbol{b} 排列而成，若 x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3+x4⋅y4\boldsymbol{x}_1 \cdot \boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{x}_2 \cdot \boldsymbol{y}_2 + \boldsymbol{x}_3 \cdot \boldsymbol{y}_3 + \boldsymbol{x}_4 \cdot \boldsymbol{y}_4 所有可能取值中的最小值为 4∣a∣24\left|\boldsymbol{a}\right|^2，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
23π\frac{2}{3}\pi
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
00

2014 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系中， OO 是坐标原点，两定点 AA，BB 满足 ∣OA→∣=∣OB→∣=OA→⋅OB→=2\left|\overrightarrow{OA}\right| = \left|\overrightarrow{OB}\right| = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2，则点集 {P∣OP→=λOA→+μOB→,∣λ∣+∣μ∣⩽1,λ,μ∈R}\left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, |\lambda| + |\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\right\} 所表示的区域的面积是（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
232\sqrt{3}
C.
424\sqrt{2}
D.
434\sqrt{3}

2013 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，点 O(0,0)O(0,0)，P(6,8)P(6,8)，将向量 OP→\overrightarrow{OP} 绕点 OO 按逆时针方向旋转 3π4\frac{3\pi}{4} 后得向量 OQ→\overrightarrow{OQ}，则点 QQ 的坐标是（ ）
A.
(−72,−2)(-7\sqrt{2}, - \sqrt{2})
B.
(−72,2)(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})
C.
(−46,−2)(-4\sqrt{6}, - 2)
D.
(−46,2)(-4\sqrt{6}, 2)

2012 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,0)\boldsymbol{a} = (1,0)，b=(12,12)\boldsymbol{b} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)，则下列结论中正确的是（ ）
A.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
B.
a⋅b=22\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}
C.
a−b\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 与 b\boldsymbol{b} 垂直
D.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}

2010 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,0)\boldsymbol{a}=(1,0)，b=(12,12)\boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)，则下列结论中正确的是（ ）
A.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
B.
a⋅b=22\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}
C.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}
D.
a−b\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 与 b\boldsymbol{b} 垂直

2010 · 安徽 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，ACAC 为一条对角线，若 AB→=(2,4)\overrightarrow{AB} = (2, 4)，AC→=(1,3)\overrightarrow{AC} = (1, 3)，则 BD→=\overrightarrow{BD} =（ ）
A.
(−2,−4)(-2, - 4)
B.
(−3,−5)(-3, - 5)
C.
(3,5)(3, 5)
D.
(2,4)(2, 4)

2008 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
若 AB→=(2,4)\overrightarrow{AB} = (2, 4)，AC→=(1,3)\overrightarrow{AC} = (1, 3)，则 BC→=\overrightarrow{BC} =（ ）
A.
(1,1)(1,1)
B.
(−1,−1)(-1, - 1)
C.
(3,7)(3,7)
D.
(−3,−7)(-3, - 7)

2008 · 安徽 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
半径为 1 的球面上的四点 AA，BB，CC，DD 是正四面体的顶点，则 AA 与 BB 两点间的球面距离为（ ）
A.
arccos⁡(−33)\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
B.
arccos⁡(−63)\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)
C.
arccos⁡(−13)\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)
D.
arccos⁡(−14)\arccos \left(-\frac{1}{4}\right)

2007 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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