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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(0,1)\boldsymbol{a}=(0,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x)，若 b⊥(b−4a)\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 ABAB 上，BD=2DABD=2DA. 记 CA→=m\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}，CD→=n\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}，则 CB→=\overrightarrow{CB}=（ ）
A.
3m−2n3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}
B.
−2m+3n-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}
C.
3m+2n3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}
D.
2m+3n2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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075分平面向量★★★☆☆
已知 PP 是边长为 2 的正六边形 ABCDEFABCDEF 内的一点，则 AP→⋅AB→\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} 的取值范围是（ ）
A.
(−2,6)\left( -2,6 \right)
B.
(−6,2)\left( -6,2 \right)
C.
(−2,4)\left( -2,4 \right)
D.
(−4,6)\left( -4,6 \right)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过点 (−2,0)(-2,0) 且斜率为 23\frac23 的直线与 CC 交于 MM，NN 两点，则 FM→⋅FN→=\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 m\boldsymbol{m}，n\boldsymbol{n} 满足 4∣m∣=3∣n∣4|\boldsymbol{m}|=3|\boldsymbol{n}|，cos⁡∠(m,n)=13\cos\angle(\boldsymbol{m},\boldsymbol{n})=\dfrac13. 若 n⊥(tm+n)\boldsymbol{n}\perp\left(t\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}\right)，则实数 tt 的值为（ ）
A.
44
B.
−4-4
C.
94\dfrac94
D.
−94-\dfrac94

2016 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知菱形 ABCDABCD 的边长为 aa，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，则 BD→⋅CD→=\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} =（ ）
A.
−32a2-\frac{3}{2}a^2
B.
−34a2-\frac{3}{4}a^2
C.
34a2\frac{3}{4}a^2
D.
32a2\frac{3}{2}a^2

2015 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a} = (1, \sqrt{3})，b=(3,m)\boldsymbol{b} = (3, m). 若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 π6\frac{\pi}{6}，则实数 m=m =（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
3\sqrt{3}
C.
00
D.
−3-\sqrt{3}

2014 · 山东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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12平面向量★★★★☆
设 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4} 是平面直角坐标系中两两不同的四点. 若 A1A3→=λA1A2→\overrightarrow{A_{1}A_{3}} = \lambda \overrightarrow{A_{1}A_{2}} （λ∈R\lambda \in \mathbf{R}），A1A4→=μA1A2→\overrightarrow{A_{1}A_{4}} = \mu \overrightarrow{A_{1}A_{2}} （μ∈R\mu \in \mathbf{R}），且 1λ+1μ=2\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} = 2，则称 A3A_{3}，A4A_{4} 调和分割 A1A_{1}，A2A_{2}. 已知平面上的点 CC，DD 调和分割点 AA，BB，则下面说法正确的是（ ）
A.
CC 可能是线段 ABAB 的中点
B.
DD 可能是线段 ABAB 的中点
C.
CC，DD 可能同时在线段 ABAB 上
D.
CC，DD 不可能同时在线段 ABAB 的延长线上

2011 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12平面向量★★★★☆
设 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4} 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 A1A3→=λA1A2→\overrightarrow{A_{1}A_{3}} = \lambda \overrightarrow{A_{1}A_{2}} （λ∈R\lambda \in \mathbf{R}），A1A4→=μA1A2→\overrightarrow{A_{1}A_{4}} = \mu \overrightarrow{A_{1}A_{2}} （μ∈R\mu \in \mathbf{R}），且 1λ+1μ=2\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} = 2，则称 A3A_{3}，A4A_{4} 调和分割 A1A_{1}，A2A_{2}. 已知点 C(c,0)C(c, 0)，D(d,0)D(d, 0) （cc，d∈Rd \in \mathbf{R}） 调和分割点 A(0,0)A(0, 0)，B(1,0)B(1, 0)，则下面说法正确的是（ ）
A.
CC 可能是线段 ABAB 的中点
B.
DD 可能是线段 ABAB 的中点
C.
CC，DD 可能同时在线段 ABAB 上
D.
CC，DD 不可能同时在线段 ABAB 的延长线上

2011 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
定义平面向量之间的一种运算“⊙\odot”如下：对任意的 a=(m,n)\boldsymbol{a} = (m, n)，b=(p,q)\boldsymbol{b} = (p, q). 令 a⊙b=mq−np\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = mq - np. 下面说法错误的是（ ）
A.
若 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 共线，则 a⊙b=0\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = 0
B.
a⊙b=b⊙a\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \odot \boldsymbol{a}
C.
对任意的 λ∈R\lambda \in \mathbf{R}，有 (λa)⊙b=λ(a⊙b)(\lambda \boldsymbol{a}) \odot \boldsymbol{b} = \lambda (\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b})
D.
(a⊙b)2+(a⋅b)2=∣a∣2∣b∣2(\boldsymbol{a}\odot \boldsymbol{b})^2 + (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2 |\boldsymbol{b}|^2

2010 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
定义平面向量之间的一种运算“⊙\odot”如下：对任意的 a=(m,n)\boldsymbol{a} = (m, n)，b=(p,q)\boldsymbol{b} = (p, q)，令 a⊙b=mq−np\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = mq - np. 下面说法错误的是（ ）
A.
若 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 共线，则 a⊙b=0\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = 0
B.
a⊙b=b⊙a\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \odot \boldsymbol{a}
C.
对任意的 λ∈R\lambda \in \mathbf{R}，有 (λa)⊙b=λ(a⊙b)(\lambda \boldsymbol{a}) \odot \boldsymbol{b} = \lambda (\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b})
D.
(a⊙b)2+(a⋅b)2=∣a∣2∣b∣2(\boldsymbol{a}\odot \boldsymbol{b})^2 +(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2 |\boldsymbol{b}|^2

2010 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
设 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，BC→+BA→=2BP→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{BP}，则（ ）
A.
PA→+PB→=0\overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PB} = 0
B.
PC→+PA→=0\overrightarrow{PC} +\overrightarrow{PA} = 0
C.
PB→+PC→=0\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PC} = 0
D.
PA→+PB→+PC→=0\overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PC} = 0

2009 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
设 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，BC→+BA→=2BP→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{BP}，则（ ）
A.
PA→+PB→=0\overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PB} = 0
B.
PB→+PC→=0\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PC} = 0
C.
PC→+PA→=0\overrightarrow{PC} +\overrightarrow{PA} = 0
D.
PA→+PB→+PC→=0\overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PC} = 0

2009 · 山东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 的对边，向量 m=(3,−1)\boldsymbol{m} = (\sqrt{3}, -1)，n=(cos⁡A,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin A). 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，且 acos⁡B+bcos⁡A=csin⁡Ca \cos B + b \cos A = c \sin C，则角 AA，BB 的大小分别为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}，π3\frac{\pi}{3}
B.
2π3\frac{2\pi}{3}，π6\frac{\pi}{6}
C.
π3\frac{\pi}{3}，π6\frac{\pi}{6}
D.
π3\frac{\pi}{3}，π3\frac{\pi}{3}

2008 · 山东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11平面向量★★★☆☆
在直角 △ABC\triangle ABC 中，CDCD 是斜边 ABAB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
\begin{answer}C\end{answer}
\begin{solution} 因为 △ABC\triangle ABC 在 CC 处为直角，故 AC→⊥BC→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}，且 AB→=AC→+CB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}、BA→=BC→+CA→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}. 因此 AC→⋅AB→=∣AC→∣2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|^2，BA→⋅BC→=∣BC→∣2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BC}|^2. 所以选项 A、B 成立.
令 u=∣AC∣>0u=|AC|>0、v=∣BC∣>0v=|BC|>0，取坐标 C=(0,0)C=(0,0)、A=(u,0)A=(u,0)、B=(0,v)B=(0,v). 斜边 ABAB 的方程为 xu+yv=1\frac{x}{u}+\frac{y}{v}=1，从 CC 向其作垂线所得垂足为
D(uv2u2+v2,u2vu2+v2)D\left(\frac{uv^2}{u^2+v^2},\frac{u^2v}{u^2+v^2}\right)
因此
AC→⋅CD→=(−u,0)⋅CD→=−u2v2u2+v2<0\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD} =(-u,0)\cdot\overrightarrow{CD} =-\frac{u^2v^2}{u^2+v^2}<0
而 ∣AB→∣2=u2+v2>0|\overrightarrow{AB}|^2=u^2+v^2>0，故选项 C 不成立. 又由直角三角形面积相等，
∣CD∣=uvu2+v2|CD|=\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}
从而
∣CD→∣2=u2v2u2+v2=(AC→⋅AB→)(BA→⋅BC→)∣AB→∣2|\overrightarrow{CD}|^2=\frac{u^2v^2}{u^2+v^2}=\frac{\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)}{|\overrightarrow{AB}|^2}
选项 D 成立. 故选 C. \end{solution}
A.
∣AC→∣2=AC→⋅AB→\left|\overrightarrow{AC}\right|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}
B.
∣BC→∣2=BA→⋅BC→|\overrightarrow{BC}|^2 = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}
C.
∣AB→∣2=AC→⋅CD→|\overrightarrow{AB}|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}
D.
∣CD→∣2=(AC→⋅AB→)×(BA→⋅BC→)∣AB→∣2\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}=\frac{\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\times\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}}

2007 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,n)\boldsymbol{a} = (1, n)，b=(−1,n)\boldsymbol{b} = (-1, n)，若 2a−b2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 与 b\boldsymbol{b} 垂直，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}| =（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
22
D.
44

2007 · 山东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
设向量a=(1,−3)\boldsymbol{a}=(1,-3)，b=(−2,4)\boldsymbol{b}=(-2,4)，c=(−1,−2)\boldsymbol{c}=(-1,-2). 若表示向量4a4\boldsymbol{a}，4b−2c4\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c}，2(a−c)2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})，d\boldsymbol{d}的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d\boldsymbol{d}为（ ）
A.
(2,6)(2,6)
B.
(−2,6)(-2,6)
C.
(2,−6)(2,-6)
D.
(−2,−6)(-2,-6)

2006 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(1,−3)\boldsymbol{a} = (1, -3)，b=(−2,4)\boldsymbol{b} = (-2, 4)，若表示向量 4a4\boldsymbol{a}，3b−2a3\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a}，c\boldsymbol{c} 的有向线段首尾相接能构成三边形，则向量 c\boldsymbol{c} 为（ ）
A.
(1,−1)(1, - 1)
B.
(−1,1)(-1, 1)
C.
(−4,6)(-4, 6)
D.
(4,−6)(4, - 6)

2006 · 山东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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