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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(m,cos⁡2x)\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)，b=(sin⁡2x,n)\boldsymbol{b} = (\sin 2x, n)，函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，且 y=f(x)y = f(x) 的图象过点 (π12,3)\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right) 和点 (2π3,−2)\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right).
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 将 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 φ\varphi（0<φ<π0 < \varphi < \pi）个单位后得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 若 y=g(x)y = g(x) 的图象上各最高点到点 (0,3)(0,3) 的距离的最小值为 1，求 y=g(x)y = g(x) 的单调增区间.

2014 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，AP⊥AP \perp 平面 PCDPCD，AD∥BCAD \parallel BC，AB=BC=12ADAB = BC = \frac{1}{2} AD，EE，FF 分别为线段 ADAD，PCPC 的中点.
(1) 求证：AP∥AP \parallel 平面 BEFBEF； (2) 求证：BE⊥BE \perp 平面 PACPAC.

2014 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡x,1)\boldsymbol{m} = (\sin x, 1)，n=(3Acos⁡x,A2cos⁡2x)\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}A \cos x, \frac{A}{2} \cos 2x)（A>0A > 0），函数 f(x)=m⋅nf(x) = \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} 的最大值为 6.
(1) 求 AA； (2) 将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象，求 g(x)g(x) 在 [0,5π24]\left[0, \frac{5\pi}{24}\right] 上的值域.

2012 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
如图，甲船以每小时 30230 \sqrt{2} 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 A1A_{1} 处时，乙船位于甲船的北偏西 105∘105^{\circ} 方向的 B1B_{1} 处，此时两船相距 2020 海里. 当甲船航行 2020 分钟到达 A2A_{2} 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120∘120^{\circ} 方向的 B2B_{2} 处，此时两船相距 10210 \sqrt{2} 海里. 问乙船每小时航行多少海里.

2007 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{m}=(\cos\theta,\sin\theta) 和 n=(2−sin⁡θ,cos⁡θ)\boldsymbol{n}=(\sqrt{2}-\sin\theta,\cos\theta)，θ∈(π,2π)\theta\in(\pi,2\pi)，且 ∣m+n∣=825\left|\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}\right|=\dfrac{8\sqrt{2}}{5}，求 cos⁡(θ2+π8)\cos\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{8}\right) 的值.

2005 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{m} = (\cos \theta, \sin \theta) 和 n=(2−sin⁡θ,cos⁡θ)\boldsymbol{n} = (\sqrt{2} - \sin \theta, \cos \theta)，θ∈(π,2π)\theta \in (\pi, 2\pi)，且 ∣m+n∣=825|\boldsymbol{m} + \boldsymbol{n}| = \frac{8\sqrt{2}}{5}，求 cos⁡(θ2+π8)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{8}\right) 的值.

2005 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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