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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a}=(1,3)，b=(3,4)\boldsymbol{b}=(3,4)，若 (a−λb)⊥b(\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,5)\boldsymbol{a}=(2,5)，b=(λ,4)\boldsymbol{b}=(\lambda,4)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 λ=\lambda=______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,−1)\boldsymbol{a}=(1,-1)，b=(m+1,2m−4)\boldsymbol{b}=(m+1,2m-4)，若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1\boldsymbol{e}_1 与 e2\boldsymbol{e}_2 的夹角为 α\alpha，且 cos⁡α=13\cos \alpha = \frac{1}{3}，向量 a=3e1−2e2\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 与 b=3e1−e2\boldsymbol{b} = 3\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2 的夹角为 β\beta，则 cos⁡β=\cos \beta =______.

2014 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1\boldsymbol{e}_1 与 e2\boldsymbol{e}_2 的夹角为 α\alpha，且 cos⁡α=13\cos \alpha = \frac{1}{3}，向量 a=3e1−2e2\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}| =______.

2014 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 为单位向量，且 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，若 a=e1+3e2\boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_{1} + 3\boldsymbol{e}_{2}，b=2e1\boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{e}_{1}，则向量 a\boldsymbol{a} 在 b\boldsymbol{b} 方向上的射影为______.

2013 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
设单位向量 m=(x,y)\boldsymbol{m} = (x, y)，b=(2,−1)\boldsymbol{b} = (2, -1). 若 m⊥b\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{b}，则 ∣x+2y∣=|x + 2y| =______.

2012 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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11平面向量★★☆☆☆
已知 ∣a∣=∣b∣=2|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 2，(a+2b)⋅(a−b)=−2(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = -2，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为______.

2011 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11平面向量★★☆☆☆
已知两个单位向量 e1e_{1}，e2e_{2} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，若向量 b1=e1−2e2b_{1} = e_{1} - 2e_{2}，b2=3e1+4e2b_{2} = 3e_{1} + 4e_{2}，则 b1⋅b2=b_{1} \cdot b_{2} =______.

2011 · 江西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^\circ，则 ∣a−b∣=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| =______.

2010 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣b∣=2\lvert\boldsymbol{b}\rvert = 2，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^\circ，则 b\boldsymbol{b} 在 a\boldsymbol{a} 上的投影是______.

2010 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (3, 1)，b=(1,3)\boldsymbol{b} = (1, 3)，c=(k,7)\boldsymbol{c} = (k, 7). 若 (a−c)∥b(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) \parallel \boldsymbol{b}，则 k=‾k =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (3, 1)，b=(1,3)\boldsymbol{b} = (1, 3)，c=(k,2)\boldsymbol{c} = (k, 2). 若 (a−c)⊥b(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) \perp \boldsymbol{b}，则 k=k =______.
\begin{solution} a−c=(3−k,−1)\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}=(3-k,-1). 由垂直条件， (a−c)⋅b=(3−k,−1)⋅(1,3)=3−k−3=−k=0(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{b}=(3-k,-1)\cdot(1,3)=3-k-3=-k=0，所以 k=0k=0. \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
直角坐标平面内三点 A(1,2)A(1,2)，B(3,−2)B(3,-2)，C(9,7)C(9,7)，若 EE，FF 为线段 BCBC 的三等分点，则 AE→⋅AF→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} =______.

2008 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
如图，正六边形 ABCDEFABCDEF 中，有下列四个命题：
① AC→+AF→=2BC→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{BC}； ② AD→=2AB→+2AF→\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}； ③ AC→⋅AD→=AD→⋅AB→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}； ④ (AD→⋅AF→)EF→=AD→(AF→⋅EF→)(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AF})\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD}(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EF}).
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

2008 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，点 OO 是 BCBC 的中点，过点 OO 的直线分别交直线 ABAB，ACAC 于不同的两点 MM，NN，若 AB→=mAM→\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}，AC→=nAN→\overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AN}，则 m+nm + n 的值为______.

2007 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
在平面直角坐标系中，正方形 OABCOABC 的对角线 OBOB 的两端点分别为 O(0,0)O(0,0)，B(1,1)B(1,1)，则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =______.
\begin{answer} 11 \end{answer}
\begin{solution} 不妨取正方形的另外两个顶点为 A(1,0)A(1,0)、C(0,1)C(0,1)；交换 AA，CC 的位置不会改变所求内积. 则 AB→=B−A=(0,1)\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1)，AC→=C−A=(−1,1)\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,1). 所以
AB→⋅AC→=0⋅(−1)+1⋅1=1\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\cdot(-1)+1\cdot1=1
\end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,sin⁡θ)\boldsymbol{a} = (1, \sin \theta)，b=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, \cos \theta)，则 ∣a−b∣\left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| 的最大值为______.

2006 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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