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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知双曲线 C:x2a2−y2=1C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1（a>0a > 0）的右焦点为 FF. 点 AA，BB 分别在 CC 的两条渐近线上，AF⊥xAF \perp x 轴，AB⊥OBAB \perp OB，BF∥OABF \parallel OA（OO 为坐标原点）.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 过 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)（y0≠0y_0 \neq 0）的直线 l:x0xa2−y0y=1l: \frac{x_0 x}{a^2} - y_0 y = 1，与直线 AFAF 相交于点 MM，与直线 x=32x = \frac{3}{2} 相交于点 NN. 证明：当点 PP 在 CC 上移动时，∣MF∣∣NF∣\frac{|MF|}{|NF|} 恒为定值，并求此定值.

2014 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
小波以游戏方式决定是去打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}（如图）这 66 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX，若 X>0X > 0 就去打球，若 X=0X = 0 就去唱歌，若 X<0X < 0 就去下棋.
(1) 写出数量积 XX 的所有可能取值； (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

2013 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知三点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,1)A(-2,1)，B(2,1)B(2,1)，曲线 CC 上任意一点 M(x,y)M(x,y) 满足 ∣MA→+MB→∣=OM→⋅(OA→+OB→)+2\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 动点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) （−2<x0<2-2 < x_0 < 2）在曲线 CC 上，曲线 CC 在点 QQ 处的切线为 ll. 问：是否存在定点 P(0,t)P(0, t) （t<0t < 0），使得 ll 与 PAPA，PBPB 都相交，交点分别为 DD，EE，且 △QAB\triangle QAB 与 △PDE\triangle PDE 的面积之比是常数？若存在，求 tt 的值；若不存在，请说明理由.

2012 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知三点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,1)A(-2,1)，B(2,1)B(2,1)，曲线 CC 上任意一点 M(x,y)M(x,y) 满足 ∣MA→+MB→∣=OM→⋅(OA→+OB→)+2\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) （−2<x0<2-2 < x_0 < 2） 是曲线 CC 上的动点，曲线 CC 在点 QQ 处的切线为 ll，点 PP 的坐标是 (0,−1)(0, -1)，ll 与 PAPA，PBPB 分别交于点 DD，EE，求 △QAB\triangle QAB 与 △PDE\triangle PDE 的面积之比.

2012 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
P(x0,y0)P(x_0, y_0)（x0≠±ax_0 \neq \pm a）是双曲线 E:x2a2−y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）上一点，MM，NN 分别是双曲线 EE 的左，右顶点. 直线 PMPM，PNPN 的斜率之积为 15\frac{1}{5}.
(1) 求双曲线的离心率； (2) 过双曲线 EE 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点，CC 为双曲线上的一点. 满足 OC→=λOA→+OB→\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}，求 λ\lambda 的值.

2011 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，A=π6A = \frac{\pi}{6}，(1+3)c=2b(1 + \sqrt{3})c = 2b.
(1) 求 CC； (2) 若 CB→⋅CA→=1+3\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 1 + \sqrt{3}，求 aa，bb，cc.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，bc=sin⁡Bsin⁡C\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}. 又 B=5π6−CB=\frac{5\pi}{6}-C，且 bc=1+32\frac{b}{c}=\frac{1+\sqrt3}{2}，所以
sin⁡(5π6−C)=1+32sin⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{6}-C\right)=\frac{1+\sqrt3}{2}\sin C
展开左边得 12cos⁡C+32sin⁡C\frac12\cos C+\frac{\sqrt3}{2}\sin C，从而 cos⁡C=sin⁡C\cos C=\sin C. 因为 0<C<5π60<C<\frac{5\pi}{6}，所以 C=π4C=\frac{\pi}{4}.
\item 由正弦定理和 A=π6A=\frac{\pi}{6}、C=π4C=\frac{\pi}{4}，有 ac=sin⁡Asin⁡C=12\frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}=\frac1{\sqrt2}. 再由已知，b=1+32cb=\frac{1+\sqrt3}{2}c. 由向量数量积，
CB→⋅CA→=abcos⁡C=c2⋅1+32c⋅22=1+34c2\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=ab\cos C =\frac{c}{\sqrt2}\cdot\frac{1+\sqrt3}{2}c\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{1+\sqrt3}{4}c^{2}
因此 c2=4c^{2}=4，因边长为正，c=2c=2，进而 a=2a=\sqrt2，b=1+3b=1+\sqrt3. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
已知向量 a=(2cos⁡x2,tan⁡(x2+π4))\boldsymbol{a}=\left(2\cos\frac{x}{2},\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)，b=(2sin⁡(x2+π4),tan⁡(x2−π4))\boldsymbol{b}=\left(\sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right),\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right)，令 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}. 是否存在实数 x∈[0,π]x\in[0,\pi]，使 f(x)+f′(x)=0f(x)+f'(x)=0（其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数）？若存在，则求出 xx 的值；若不存在，则证明之.

2005 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(2cos⁡x2,tan⁡(x2+π4))\boldsymbol{a}=\left(2\cos\dfrac x2,\tan\left(\dfrac x2+\dfrac\pi4\right)\right)，b=(2sin⁡(x2+π4),tan⁡(x2−π4))\boldsymbol{b}=\left(\sqrt2\sin\left(\dfrac x2+\dfrac\pi4\right),\tan\left(\dfrac x2-\dfrac\pi4\right)\right)， 令 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}. 求函数 f(x)f(x) 的最大值，最小正周期，并写出 f(x)f(x) 在 [0,π][0,\pi] 上的单调区间.

2005 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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