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17平面向量★★★☆☆
设点 PP 在单位圆的内接正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的边 A1A2A_1A_2 上，则 PA1→ 2+PA2→ 2+⋯+PA8→ 2\overrightarrow{PA_1}^{\,2}+\overrightarrow{PA_2}^{\,2}+\cdots+\overrightarrow{PA_8}^{\,2} 的取值范围是______.

2022 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}（c≠0\boldsymbol{c}\ne\boldsymbol{0}） 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 且 (a−b)⋅c=0(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=0. 记向量 d\boldsymbol{d} 在 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 方向上的投影分别为 xx，yy， d−a\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a} 在 c\boldsymbol{c} 方向上的投影为 zz，则 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
设 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 为单位向量，满足 ∣2e1−e2∣≤2|2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2|\le\sqrt2，a=e1+e2\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，b=3e1+e2\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则 cos⁡2θ\cos^2\theta 的最小值为______.

2020 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11. 当每个 λi\lambda_i（i=1i=1，22，33，44，55，66）都取 ±1\pm1 时，∣λ1AB→+λ2BC→+λ3CD→+λ4DA→+λ5AC→+λ6BD→∣\left|\lambda_1\overrightarrow{AB}+\allowbreak\lambda_2\overrightarrow{BC}+\allowbreak\lambda_3\overrightarrow{CD}+\allowbreak\lambda_4\overrightarrow{DA}+\allowbreak\lambda_5\overrightarrow{AC}+\allowbreak\lambda_6\overrightarrow{BD}\right| 的最小值是______；最大值是______.

2019 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17解析几何★★★★☆
已知点 P(0,1)P(0,1)，椭圆 x24+y2=m\dfrac{x^2}{4}+y^2=m（m>1m>1）上两点 AA，BB 满足 AP→=2PB→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}，则当 m=m=______ 时，点 BB 横坐标的绝对值最大.

2018 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，则 ∣a+b∣+∣a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| 的最小值是______，最大值是______.

2017 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★★★
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，若对任意单位向量 e\boldsymbol{e}，均有 ∣a⋅e∣+∣b⋅e∣≤6|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{e}|\le \sqrt6，则 a⋅b\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} 的最大值是______.

2016 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，a⋅b=1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1，若 e\boldsymbol{e} 为平面单位向量，则 ∣a⋅e∣+∣b⋅e∣|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}| 的最大值是______.

2016 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB=AC=BD=CD=3AB = AC = BD = CD = 3，AD=BC=2AD = BC = 2，点 MM，NN 分别为 ADAD，BCBC 的中点，则异面直线 ANAN，CMCM 所成的角的余弦值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
已知 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 是平面单位向量，且 e1⋅e2=12\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2=\frac12. 若平面向量 b\boldsymbol{b} 满足 b⋅e1=b⋅e2=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}_2=1，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}|=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
设 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 为单位向量，非零向量 b=xe1+ye2\boldsymbol{b} = x\boldsymbol{e}_{1} + y\boldsymbol{e}_{2}，xx，y∈Ry \in \mathbf{R}. 若 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 的夹角为 π6\frac{\pi}{6}，则 ∣x∣∣b∣\frac{|x|}{|\boldsymbol{b}|} 的最大值等于______.

2013 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
设 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 为单位向量，非零向量 b=xe1+ye2\boldsymbol{b} = x\boldsymbol{e}_1 + y\boldsymbol{e}_2，xx，y∈Ry \in \mathbf{R}. 若 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 的夹角为 π6\frac{\pi}{6}，则 ∣x∣∣b∣\frac{|x|}{|\boldsymbol{b}|} 的最大值等于______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，MM 是 BCBC 的中点，AM=3AM = 3，BC=10BC = 10. 则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，MM 是 BCBC 的中点，AM=3AM = 3，BC=10BC = 10，则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
若平面向量 α\alpha，β\beta 满足 ∣α∣=1|\alpha| = 1，∣β∣⩽1|\beta| \leqslant 1，且以向量 α\alpha，β\beta 为邻边的平行四边形的面积为 12\frac{1}{2}，则 α\alpha 和 β\beta 的夹角 θ\theta 的取值范围是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别为椭圆 x23+y2=1\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1 的焦点，点 AA，BB 在椭圆上. 若 F1A→=5F2B→\overrightarrow{F_{1}A} = 5\overrightarrow{F_{2}B}，则点 AA 的坐标是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
若平面向量 α\boldsymbol{\alpha}，β\boldsymbol{\beta} 满足 ∣α∣=1|\boldsymbol{\alpha}| = 1，∣β∣⩽1|\boldsymbol{\beta}| \leqslant 1，且以向量 α\boldsymbol{\alpha}，β\boldsymbol{\beta} 为邻边的平行四边形的面积为 12\frac{1}{2}，则 α\boldsymbol{\alpha} 和 β\boldsymbol{\beta} 的夹角 θ\theta 的取值范围是______.

2011 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★★☆
已知平面向量 α\alpha，β\beta（α≠0\alpha \neq 0，α≠β\alpha \neq \beta）满足 ∣β∣=1|\beta| = 1，且 α\alpha 与 β−α\beta - \alpha 的夹角为 120∘120^{\circ}，则 ∣α∣|\alpha| 的取值范围是______. \begin{answer} (0,233]\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right] \end{answer}
\begin{solution} 设 r=∣α∣>0r=|\alpha|>0，s=∣β−α∣>0s=|\beta-\alpha|>0. 由向量的夹角条件，
α⋅(β−α)=rscos⁡120∘=−rs2\alpha\cdot(\beta-\alpha)=rs\cos120^{\circ}=-\frac{rs}{2}
又 β=α+(β−α)\beta=\alpha+(\beta-\alpha)，且 ∣β∣=1|\beta|=1，所以
1=∣β∣2=r2+s2+2α⋅(β−α)=r2+s2−rs1=|\beta|^2=r^2+s^2+2\alpha\cdot(\beta-\alpha)=r^2+s^2-rs
这是关于 ss 的方程
s2−rs+r2−1=0s^2-rs+r^2-1=0
要有实数 ss，必须
r2−4(r2−1)=4−3r2⩾0r^2-4(r^2-1)=4-3r^2\geqslant0
即 0<r⩽2330<r\leqslant\frac{2\sqrt3}{3}. 反之，在此范围内取
s=r+4−3r22>0s=\frac{r+\sqrt{4-3r^2}}{2}>0
即可构成夹角为 120∘120^{\circ} 且 ∣β∣=1|\beta|=1 的两个向量，因此所有这些 rr 都能取到. 故填
(0,233]\left(0,\frac{2\sqrt3}{3}\right]
\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 α\alpha，β\beta 满足 ∣α∣=1|\alpha| = 1，∣β∣=2|\beta| = 2，α⊥(α−2β)\alpha \perp (\alpha - 2\beta)，则 ∣2α+β∣|2\alpha + \beta| 的值是______.
\begin{answer} 10\sqrt{10} \end{answer}
\begin{solution} 由 α⊥(α−2β)\alpha\perp(\alpha-2\beta)，得
α⋅(α−2β)=0\alpha\cdot(\alpha-2\beta)=0
代入 ∣α∣=1|\alpha|=1，可得 1−2α⋅β=01-2\alpha\cdot\beta=0，α⋅β=12\alpha\cdot\beta=\frac12. 于是
∣2α+β∣2=4∣α∣2+4α⋅β+∣β∣2=4+4×12+4=10|2\alpha+\beta|^2 =4|\alpha|^2+4\alpha\cdot\beta+|\beta|^2 =4+4\times\frac12+4=10
长度非负，所以 ∣2α+β∣=10|2\alpha+\beta|=\sqrt{10}. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，OO 是 ACAC 与 BDBD 的交点，PP，QQ，MM，NN 分别是线段 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的中点. 在 AA，PP，MM，CC 中任取一点记为 EE，在 BB，QQ，NN，DD 中任取一点记为 FF. 设 GG 为满足向量 OG→=OE→+OF→\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} 的点，则在上述的点 GG 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCDABCD 外（不含边界）的概率为______.
\begin{answer} 34\frac{3}{4} \end{answer}
\begin{solution} 以 OO 为原点，设 OA→=a\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}， OB→=b\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}. 由于平行四边形的对角线互相平分， OC→=−a\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}，OD→=−b\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}. 所以 EE 对应的系数只能是 11，12\frac12，−12-\frac12，−1-1，即 OE→=sa\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}，其中 s∈{1,12,−12,−1}s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 同理 OF→=tb\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}，其中 t∈{1,12,−12,−1}t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 因而
OG→=sa+tb\overrightarrow{OG}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}
在基底 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 下，平行四边形 ABCDABCD 的四个顶点为 (1,0)(1,0)，(0,1)(0,1)，(−1,0)(-1,0)，(0,−1)(0,-1)，其内部及边界为 ∣s∣+∣t∣⩽1|s|+|t|\leqslant1. 当且仅当 ∣s∣=∣t∣=12|s|=|t|=\frac12 时，∣s∣+∣t∣=1|s|+|t|=1，对应 2×2=42\times2=4 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 16−4=1216-4=12 个选择满足 ∣s∣+∣t∣>1|s|+|t|>1，所得点在平行四边形外部.
因此所求概率为
1216=34\frac{12}{16}=\frac34
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a} 是平面内的单位向量，若向量 b\boldsymbol{b} 满足 b⋅(a−b)=0\boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 0，则 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 的取值范围是______.

2008 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知点 OO 在二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的棱上，点 PP 在 α\alpha 内，且 ∠POB=45∘\angle POB = 45^{\circ}. 若对于 β\beta 内异于 OO 的任意一点 QQ，都有 ∠POQ⩾45∘\angle POQ \geqslant 45^{\circ}，则二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的大小是______. \begin{answer} 90∘90^{\circ} \end{answer}
\begin{solution} 设 θ\theta 为二面角的大小，取沿 OBOB 的单位向量为 e1\boldsymbol{e}_1，取平面 α\alpha 内垂直于 ABAB 且指向 PP 的单位向量为 e2\boldsymbol{e}_2，再取平面 β\beta 内垂直于 ABAB 的单位向量为 e3\boldsymbol{e}_3. 则 e1⊥e2\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_2，e1⊥e3\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_3，e2⋅e3=cos⁡θ\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_3=\cos\theta. 由 ∠POB=45∘\angle POB=45^{\circ}，设 OP=rOP=r，则
OP→=r2e1+r2e2\overrightarrow{OP}=\frac r{\sqrt2}\boldsymbol{e}_1+\frac r{\sqrt2}\boldsymbol{e}_2
平面 β\beta 内任意向量都可以写成 se1+te3s\boldsymbol{e}_1+t\boldsymbol{e}_3. 因此，OP→\overrightarrow{OP} 在平面 β\beta 上的投影长度为
∣proj⁡βOP→∣=(r2)2+(r2cos⁡θ)2=r1+cos⁡2θ2\left\lvert\operatorname{proj}_{\beta}\overrightarrow{OP}\right\rvert =\sqrt{\left(\frac r{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac r{\sqrt2}\cos\theta\right)^2} =r\sqrt{\frac{1+\cos^2\theta}{2}}
所以 OP→\overrightarrow{OP} 与平面 β\beta 内非零向量的夹角的最小值 φ\varphi 满足
cos⁡φ=1+cos⁡2θ2\cos\varphi=\sqrt{\frac{1+\cos^2\theta}{2}}
题设对任意 Q∈βQ\in\beta 且 Q≠OQ\ne O 都有 ∠POQ⩾45∘\angle POQ\geqslant45^{\circ}，故 φ⩾45∘\varphi\geqslant45^{\circ}，从而
1+cos⁡2θ2⩽12\sqrt{\frac{1+\cos^2\theta}{2}}\leqslant\frac1{\sqrt2}
于是 cos⁡2θ=0\cos^2\theta=0，所以 θ=90∘\theta=90^{\circ}. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，满足 a+b+c=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0，(a−b)⊥c(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}，a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，若 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，则 ∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 的值是______.
\begin{answer} 44 \end{answer}
\begin{solution} 由 a+b+c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0，得 c=−(a+b)\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}). 由 (a−b)⊥c(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{c}，有
0=(a−b)⋅c=−(a−b)⋅(a+b)=−∣a∣2+∣b∣20=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=-|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2
所以 ∣b∣=∣a∣=1|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|=1. 又因为 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，
∣c∣2=∣a+b∣2=∣a∣2+∣b∣2=2|\boldsymbol{c}|^2=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2=2
故 ∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2=1+1+2=4|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2=1+1+2=4. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
已知平面上三点 AA，BB，CC 满足 ∣AB→∣=3\left|\overrightarrow{AB}\right|=3，∣BC→∣=4\left|\overrightarrow{BC}\right|=4，∣CA→∣=5\left|\overrightarrow{CA}\right|=5，则 AB→⋅BC→+BC→⋅CA→+CA→⋅AB→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} 的值等于______.

2004 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知平面上三点 AA，BB，CC 满足 ∣AB→∣=3\left|\overrightarrow{AB}\right| = 3，∣BC→∣=4\left|\overrightarrow{BC}\right| = 4，∣CA→∣=5\left|\overrightarrow{CA}\right| = 5，则 AB→⋅BC→+BC→⋅CA→+CA→⋅AB→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} 的值等于______.

2004 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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