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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(0,1)\boldsymbol{a}=(0,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x)，若 b⊥(b−4a)\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，则“a⋅c=b⋅c\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}”是“a=b\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2021 · 浙江 · 第 3 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，e\boldsymbol{e} 是平面向量，e\boldsymbol{e} 是单位向量. 若非零向量 a\boldsymbol{a} 与 e\boldsymbol{e} 的夹角为 π3\dfrac{\pi}{3}，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∥b∥2−4e⋅b+3=0\lVert\boldsymbol{b}\rVert^2-4\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{b}+3=0，则 ∥a−b∥\lVert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rVert 的最小值是（ ）
A.
3−1\sqrt3-1
B.
3+1\sqrt3+1
C.
22
D.
2−32-\sqrt3

2018 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
如图，已知平面四边形 ABCDABCD，AB⊥BCAB\perp BC，AB=BC=AD=2AB=BC=AD=2，CD=3CD=3，ACAC 与 BDBD 交于点 OO，记 I1=OA→⋅OB→I_1=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}，I2=OB→⋅OC→I_2=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}，I3=OC→⋅OD→I_3=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}，则（ ）
A.
I1<I2<I3I_1<I_2<I_3
B.
I1<I3<I2I_1<I_3<I_2
C.
I3<I1<I2I_3<I_1<I_2
D.
I2<I1<I3I_2<I_1<I_3

2017 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+2A_n\ne A_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+2B_n\ne B_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08平面向量★★★★☆
记
max⁡{x,y}={x,x⩾y,y,x<y,\max\{x, y\} = \begin{cases} x, & x \geqslant y,\\ y, & x < y, \end{cases}
min⁡{x,y}={y,x⩾y,x,x<y,\min\{x, y\} = \begin{cases} y, & x \geqslant y,\\ x, & x < y, \end{cases}
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面向量，则（ ）
A.
min⁡{∣a+b∣,∣a−b∣}⩽min⁡{∣a∣,∣b∣}\min \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|\right\} \leqslant \min \left\{\left|\boldsymbol{a}\right|, \left|\boldsymbol{b}\right|\right\}
B.
min⁡{∣a+b∣,∣a−b∣}⩾min⁡{∣a∣,∣b∣}\min \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|\right\} \geqslant \min \left\{\left|\boldsymbol{a}\right|, \left|\boldsymbol{b}\right|\right\}
C.
max⁡{∣a+b∣2,∣a−b∣2}⩽∣a∣2+∣b∣2\max \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|^2, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|^2\right\} \leqslant \left|\boldsymbol{a}\right|^2 + \left|\boldsymbol{b}\right|^2
D.
max⁡{∣a+b∣2,∣a−b∣2}⩾∣a∣2+∣b∣2\max \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|^2, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|^2\right\} \geqslant \left|\boldsymbol{a}\right|^2 + \left|\boldsymbol{b}\right|^2

2014 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
设 θ\theta 为两个非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角. 已知对任意实数 tt，∣b+ta∣|\boldsymbol{b} + t\boldsymbol{a}| 的最小值为 11. 则（ ）
A.
若 θ\theta 确定，则 ∣a∣|\boldsymbol{a}| 唯一确定
B.
若 θ\theta 确定，则 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 唯一确定
C.
若 ∣a∣|\boldsymbol{a}| 确定，则 θ\theta 唯一确定
D.
若 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 确定，则 θ\theta 唯一确定

2014 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC，P0P_0 是边 ABAB 上一定点. 满足 P0B=14ABP_0B = \frac{1}{4}AB，且对于边 ABAB 上任一点 PP，恒有 PB→⋅PC→⩾P0B→⋅P0C→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} \geqslant \overrightarrow{P_0B} \cdot \overrightarrow{P_0C}. 则（ ）
A.
∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}
B.
∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}
C.
AB=ACAB = AC
D.
AC=BCAC = BC

2013 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是两个非零向量（ ）
A.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
B.
若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|
C.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}
D.
若存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|

2012 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是两个非零向量（ ）
A.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
B.
若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|
C.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}
D.
若存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|

2012 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07平面向量★★★★☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足：∣a∣=3|\boldsymbol{a}|=3，∣b∣=4|\boldsymbol{b}|=4，a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0. 以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，a−b\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 11 的圆的公共点个数最多为（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2009 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(2,−3)\boldsymbol{b} = (2, -3). 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 (c+a)∥b(\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}) \parallel \boldsymbol{b}，c⊥(a+b)\boldsymbol{c} \perp (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})，则 c=\boldsymbol{c} =（ ）
A.
(79,73)\left(\frac{7}{9}, \frac{7}{3}\right)
B.
(−73,−79)\left(-\frac{7}{3}, -\frac{7}{9}\right)
C.
(73,79)\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{9}\right)
D.
(−79,−73)\left(-\frac{7}{9}, -\frac{7}{3}\right)

2009 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c\boldsymbol{c} 满足 (a−c)⋅(b−c)=0(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) = 0，则 ∣c∣|\boldsymbol{c}| 的最大值是（ ）
A.
1
B.
2
C.
2\sqrt{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2008 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{b}|，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 ∣a+b∣=∣b∣\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{b}\rvert，平方得
∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2=∣b∣2\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2=\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2
所以 a⋅b=−12∣a∣2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac12\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2. 于是
∣a+2b∣2=∣a∣2+4a⋅b+4∣b∣2=4∣b∣2−∣a∣2<4∣b∣2=∣2b∣2\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert^2 =\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2 =4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2-\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2 <4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2=\lvert2\boldsymbol{b}\rvert^2
故 ∣2b∣>∣a+2b∣\lvert2\boldsymbol{b}\rvert>\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert，选 C. \end{solution}
A.
∣2a∣>∣2a+b∣|2\boldsymbol{a}| > |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|
B.
∣2a∣<∣2a+b∣|2\boldsymbol{a}| < |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|
C.
∣2b∣>∣a+2b∣|2\boldsymbol{b}| > |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}|
D.
∣2b∣<∣a+2b∣|2\boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}|

2007 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
若 PP 是两条异面直线 ll，mm 外的任意一点，则（ ）
A.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都平行
B.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都垂直
C.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都相交
D.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都异面

2007 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，则（ ）
A.
∣2b∣>∣a−2b∣\left|2\boldsymbol{b}\right| > \left|\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}\right|
B.
∣2b∣<∣a−2b∣\left|2\boldsymbol{b}\right| < \left|\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}\right|
C.
∣2a∣>∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}\right| > \left|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|
D.
∣2a∣<∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}\right| < \left|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|

2007 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
如图，OO 是半径为 11 的球心，点 AA，BB，CC 在球面上，OAOA，OBOB，OCOC 两两垂直，EE，FF 分别是大圆弧 AB^\widehat{AB} 与 AC^\widehat{AC} 的中点，则点 EE，FF 在该球面上的球面距离是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 取单位向量 eA\boldsymbol{e}_A，eB\boldsymbol{e}_B，eC\boldsymbol{e}_C 分别沿 OAOA，OBOB，OCOC 方向，则它们两两垂直. 大圆弧 ABAB 的中点对应的单位向量为
eE=eA+eB2\boldsymbol{e}_E=\frac{\boldsymbol{e}_A+\boldsymbol{e}_B}{\sqrt2}
因为 OA⊥OCOA\perp OC，大圆弧 ACAC 的中点到 AA，CC 等距，故其单位向量为
eF=eA+eC2\boldsymbol{e}_F=\frac{\boldsymbol{e}_A+\boldsymbol{e}_C}{\sqrt2}
因而
eE⋅eF=12\boldsymbol{e}_E\cdot\boldsymbol{e}_F=\frac12
球面半径为 11，所以球面距离等于对应圆心角，设其为 θ\theta，则 cos⁡θ=12\cos\theta=\frac12，从而 θ=π3\theta=\frac\pi3. 因此选 B. \end{solution}
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
2π4\frac{\sqrt{2}\pi}{4}

2006 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a+b+c=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0，a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 ∣c∣2=|\boldsymbol{c}|^2 =（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
55

2006 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
已知向量 a≠e\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{e}，∣e∣=1|\boldsymbol{e}| = 1，对任意 t∈Rt \in \mathbf{R}，恒有 ∣a−te∣⩾∣a−e∣|\boldsymbol{a} - t\boldsymbol{e}| \geqslant |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e}|. 则（\quad）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 两边平方并利用 ∣e∣=1|\boldsymbol{e}|=1，得到对任意 t∈Rt\in\mathbf{R}，
∣a−te∣2−∣a−e∣2=t2−2ta⋅e+2a⋅e−1=(t−1)2+2(t−1)(1−a⋅e)⩾0|\boldsymbol{a}-t\boldsymbol{e}|^2-|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e}|^2 =t^2-2t\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}-1 =(t-1)^2+2(t-1)(1-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\geqslant0
令 t=1+ht=1+h，则 h2+2h(1−a⋅e)⩾0h^2+2h(1-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\geqslant0，（h∈Rh\in\mathbf{R}）. 若 1−a⋅e≠01-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}\ne0，取充分小且符号相反的 hh，上式将小于零，矛盾. 所以 a⋅e=1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}=1. 因而
e⋅(a−e)=a⋅e−∣e∣2=1−1=0\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}-|\boldsymbol{e}|^2=1-1=0
又因 a≠e\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{e}，故 e⊥(a−e)\boldsymbol{e}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e})，选 C. \end{solution}
A.
a⊥e\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{e}
B.
a⊥(a−e)\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e})
C.
e⊥(a−e)\boldsymbol{e} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e})
D.
(a+e)⊥(a−e)(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{e}) \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e})

2005 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(x−5,3)\boldsymbol{a} = (x - 5, 3)，b=(2,x)\boldsymbol{b} = (2, x)，且 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则由 xx 值的构成的集合是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，得 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，即 2(x−5)+3x=02(x-5)+3x=0. 整理得 5x−10=05x-10=0，所以 x=2x=2，由 xx 的值构成的集合为 {2}\{2\}，故选 C. \end{solution}
A.
{2,3}\{2,3\}
B.
{−1,6}\{-1,6\}
C.
{2}\{2\}
D.
{6}\{6\}

2005 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(3,4)\boldsymbol{a} = (3, 4)，b=(sin⁡α,cos⁡α)\boldsymbol{b} = (\sin \alpha, \cos \alpha)，且 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 tan⁡α=\tan \alpha =（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
−34-\frac{3}{4}
C.
43\frac{4}{3}
D.
−43-\frac{4}{3}

2004 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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