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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,−1)\boldsymbol{a}=(1,-1)，b=(m+1,2m−4)\boldsymbol{b}=(m+1,2m-4)，若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中， OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0)，动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OD}\right| 的最大值是______. \begin{answer} 1+71+\sqrt{7} \end{answer}
\begin{solution} 由点的坐标得
OA→+OB→+OC→=(−1,0)+(0,3)+(3,0)=(2,3)\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(-1,0)+(0,\sqrt3)+(3,0)=(2,\sqrt3)
又因为 ∣CD→∣=1|\overrightarrow{CD}|=1，可写成 OD→=OC→+CD→\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}，故
OA→+OB→+OD→=(2,3)+CD→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(2,\sqrt3)+\overrightarrow{CD}
由三角不等式，该向量的模不超过 22+(3)2+1=7+1\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}+1=\sqrt7+1. 当 CD→\overrightarrow{CD} 与 (2,3)(2,\sqrt3) 同方向时等号成立，所以最大值为 1+71+\sqrt7. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AP⊥BDAP \perp BD，垂足为 PP，且 AP=3AP = 3，则 AP→⋅AC→=\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在边长为 1 的正三角形 ABCABC 中，设 BC→=2BD→\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD}，CA→=3CE→\overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{CE}，则 AD→⋅BE→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} =______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=25|\boldsymbol{a}| = 2\sqrt{5}，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，且 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的方向相反，则 a\boldsymbol{a} 的坐标为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD→=xAB→+yAC→\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=‾x =\underline{\hspace{2em}}，y=‾y =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a} = (1, \sqrt{3})，b=(−2,0)\boldsymbol{b} = (-2, 0)，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| =______.
\begin{solution} a+b=(−1,3)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-1,\sqrt3)，所以
∣a+b∣=(−1)2+(3)2=4=2|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2
\end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，OM∥ABOM \parallel AB，点 PP 在由射线 OMOM，线段 OBOB 及 ABAB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 OP→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}，则 xx 的取值范围是______；当 x=−12x = -\frac{1}{2} 时，yy 的取值范围是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
过三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1ABB_1A_1 平行的直线共有______条\text{条}.

2006 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=3|AB| = \sqrt{3}，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =______.
\begin{answer} −12-\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 θ=∠AOB\theta=\angle AOB. 由 ∣OA∣=∣OB∣=1|OA|=|OB|=1 及弦长公式，
∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=2−2cos⁡θ|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2|OA||OB|\cos\theta=2-2\cos\theta
代入 ∣AB∣2=3|AB|^2=3，得 cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac12. 因此
OA→⋅OB→=∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=−12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|OA||OB|\cos\theta=-\frac12
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{a}=(\cos\theta,\sin\theta)，向量 b=(3,−1)\boldsymbol{b}=(\sqrt{3},-1)，则 ∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right| 的最大值是______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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