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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(0,1)\boldsymbol{a}=(0,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x)，若 b⊥(b−4a)\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 ABAB 上，BD=2DABD=2DA. 记 CA→=m\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}，CD→=n\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}，则 CB→=\overrightarrow{CB}=（ ）
A.
3m−2n3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}
B.
−2m+3n-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}
C.
3m+2n3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}
D.
2m+3n2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过点 (−2,0)(-2,0) 且斜率为 23\frac23 的直线与 CC 交于 MM，NN 两点，则 FM→⋅FN→=\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知 AB→⊥AC→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}，∣AB→∣=1t|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{t}，∣AC→∣=t|\overrightarrow{AC}| = t. 若点 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，且 AP→=AB→∣AB→∣+4AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}，则 PB→⋅PC→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} 的最大值等于（ ）
A.
13
B.
15
C.
19
D.
21

2015 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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07平面向量★☆☆☆☆
设 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1,2)，b=(1,1)\boldsymbol{b} = (1,1)，c=a+kb\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}. 若 b⊥c\boldsymbol{b} \perp \boldsymbol{c}，则实数 kk 的值等于（ ）
A.
−32-\frac{3}{2}
B.
−53-\frac{5}{3}
C.
53\frac{5}{3}
D.
32\frac{3}{2}

2015 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
在下列向量组中，可以把向量 a=(3,2)\boldsymbol{a} = (3, 2) 表示出来的是（ ）
A.
e1=(0,0),e2=(1,2)\boldsymbol{e}_1 = (0,0), \boldsymbol{e}_2 = (1,2)
B.
e1=(−1,2)\boldsymbol{e}_1 = (-1,2)，e2=(5,−2)\boldsymbol{e}_2 = (5, -2)
C.
e1=(3,5)\boldsymbol{e}_1 = (3,5)，e2=(6,10)\boldsymbol{e}_2 = (6,10)
D.
e1=(2,−3)\boldsymbol{e}_1 = (2, -3)，e2=(−2,3)\boldsymbol{e}_2 = (-2, 3)

2014 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10平面向量★★☆☆☆
设 MM 为平行四边形 ABCDABCD 对角线交的点，OO 为平行四边形 ABCDABCD 所在平面内任意一点，则 OA→+OB→+OC→+OD→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} 等于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设各点的位置向量均以 OO 为起点. 平行四边形的对角线互相平分，所以 OA→+OC→=2OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}，且 OB→+OD→=2OM→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}. 两式相加得 OA→+OB→+OC→+OD→=4OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OM}. 因此选 D. \end{solution}
A.
OM→\overrightarrow{OM}
B.
2OM→2\overrightarrow{OM}
C.
3OM→3\overrightarrow{OM}
D.
4OM→4\overrightarrow{OM}

2014 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
5
D.
10

2013 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 四边形的面积等于两条对角线长度及其夹角正弦乘积的一半. 用向量坐标计算两条对角线的叉积：
∣AC→×BD→∣=∣1⋅2−2⋅(−4)∣=10\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\right| =\left|1\cdot2-2\cdot(-4)\right|=10
所以四边形 ABCDABCD 的面积为 12×10=5\frac12\times10=5，故选 C. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
55
D.
1010

2013 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(x−1,2)\boldsymbol{a} = (x - 1, 2)，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，则 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} 的充要条件是（ ）
A.
x=−12x = -\frac{1}{2}
B.
x=−1x = -1
C.
x=5x = 5
D.
x=0x = 0

2012 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知 OO 是坐标原点，点 A(−1,1)A(-1,1)，若点 M(x,y)M(x,y) 为平面区域
{x+y⩾2,x⩽1,y⩽2\begin{cases} x+y\geqslant 2,\\ x\leqslant 1,\\ y\leqslant 2 \end{cases}
上的一个动点，则 OA→⋅OM→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM} 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0][-1,0]
B.
[0,1][0,1]
C.
[0,2][0,2]
D.
[−1,2][-1,2]

2011 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
若点 OO 和点 F(−2,0)F(-2,0) 分别为双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 （a>0a > 0）的中心和左焦点，点 PP 为双曲线右支上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的取值范围为（ ）
A.
[3−23,+∞)\left[3 - 2\sqrt{3}, +\infty\right)
B.
[3+23,+∞)\left[3 + 2\sqrt{3}, + \infty\right)
C.
[−74,+∞)\left[-\frac{7}{4}, +\infty\right)
D.
[74,+∞)\left[\frac{7}{4}, +\infty\right)

2010 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
若向量 a=(x,3)\boldsymbol{a} = (x, 3) （x∈Rx \in \mathbf{R}），则 x=4x = 4 是 ∣a∣=5\lvert\boldsymbol{a}\rvert = 5 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
若点 OO 和点 FF 分别为椭圆 x24+y23=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 的中心和左焦点，点 PP 为椭圆上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的最大值为（ ）
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8

2010 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{c}|，则 ∣b⋅c∣\lvert \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \rvert 的值一定等于（ ）
\begin{solution} 设θ\theta为a\boldsymbol{a}与b\boldsymbol{b}的夹角.因为a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}且∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{c}|，所以b\boldsymbol{b}与c\boldsymbol{c}的夹角的余弦绝对值等于sin⁡θ\sin\theta.于是
∣b⋅c∣=∣b∣∣c∣∣cos⁡∠(b,c)∣=∣b∣∣a∣sin⁡θ\lvert\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\lvert\cos\angle(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|\sin\theta
右端正是以a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}为邻边的平行四边形面积.因此选 C. \end{solution}
A.
以 a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 为两边的三角形面积
B.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为两边的三角形面积
C.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形的面积
D.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为邻边的平行四边形的面积

2009 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{c}|，则 ∣b⋅c∣|\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}| 的值一定等于（ ）
A.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形的面积
B.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为邻边的平行四边形的面积
C.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为两边的三角形面积
D.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为两边的三角形面积

2009 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
对于向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，下列命题中真命题的是（ ）
A.
若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 a=0\boldsymbol{a} = 0 或 b=0\boldsymbol{b} = 0
B.
若 λa=0\lambda\boldsymbol{a} = 0，则 λ=0\lambda = 0 或 a=0\boldsymbol{a} = 0
C.
若 a2=b2\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2，则 a=b\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} 或 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}
D.
若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}

2007 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08平面向量★☆☆☆☆
对于向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，下列命题中真命题的是（ ）
A.
若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 a=0\boldsymbol{a} = 0 或 b=0\boldsymbol{b} = 0
B.
若 λa=0\lambda\boldsymbol{a} = 0，则 λ=0\lambda = 0 或 a=0\boldsymbol{a} = 0
C.
若 a2=b2\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2，则 a=b\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} 或 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}
D.
若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}

2007 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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