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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=3|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt3，∣a+b∣=∣2a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a+b+c=\bs0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\bs 0，∣a∣=1\left| \boldsymbol{a} \right|=1，∣b∣=∣c∣=2\left| \boldsymbol{b} \right|=\left| \boldsymbol{c} \right|=2，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=‾\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −92-\frac{9}{2} \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 45∘45^\circ，ka−bk\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 垂直，则 k=k=______.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，且 a=(−2,−6)\boldsymbol{a} = (-2, -6)，∣b∣=10|\boldsymbol{b}| = \sqrt{10}，则 a⋅b=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =______.

2014 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在 OAOA 为边，OBOB 为对角线的矩形中，已知 OA→=(−3,1)\overrightarrow{OA} = (-3, 1)，OB→=(−2,k)\overrightarrow{OB} = (-2, k)，则实数 k=k =______. \begin{answer} 44 \end{answer} \begin{solution} 矩形中 OA⊥ABOA\perp AB，且
AB→=OB→−OA→=(1,k−1)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,k-1)
因此
OA→⋅AB→=(−3,1)⋅(1,k−1)=−3+k−1=0\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(-3,1)\cdot(1,k-1)=-3+k-1=0
解得 k=4k=4. \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1e_1，e2e_2 的夹角为 60∘60^\circ，则 ∣2e1−e2∣=‾|2e_1 - e_2| =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 由 e1e_1，e2e_2 是单位向量且夹角为 60∘60^\circ，得 e1⋅e2=cos⁡60∘=12e_1\cdot e_2=\cos60^\circ=\frac{1}{2}. 因此 ∣2e1−e2∣2=4∣e1∣2+∣e2∣2−4e1⋅e2=4+1−4⋅12=3\lvert2e_1-e_2\rvert^2=4\lvert e_1\rvert^2+\lvert e_2\rvert^2-4e_1\cdot e_2=4+1-4\cdot\frac{1}{2}=3，从而 ∣2e1−e2∣=3\lvert2e_1-e_2\rvert=\sqrt{3}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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