已知双曲线 $C:x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n$（$n=2$，$3$，$\dots$）：过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $(x_n,y_n)$.

(1) 若 $k=\frac12$，求 $x_2$，$y_2$； (2) 证明：数列 $\{x_n-y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列； (3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$.

已知中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $(2,0)$，右顶点为 $(\sqrt{3},0)$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 若直线 $l: y = kx + \sqrt{2}$ 与双曲线 $C$ 恒有两个不同的交点 $A$ 和 $B$，且 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} > 2$（其中 $O$ 为原点）. 求 $k$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则右焦点横坐标为 $c=2$，右顶点横坐标为 $a=\sqrt3$. 由 $c^2=a^2+b^2$ 得 $b^2=4-3=1$，所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$. \item 将 $y=kx+\sqrt2$ 代入双曲线方程，得 $\left(\frac13-k^2\right)x^2-2\sqrt2kx-3=0$. 要有两个不同的交点，首先判别式 $\Delta=(-2\sqrt2k)^2-4\left(\frac13-k^2\right)(-3)=4(1-k^2)>0$，故 $|k|<1$；同时二次项系数不能为零，否则只有一个有限交点，所以 $k\ne\pm\frac{\sqrt3}{3}$. 设两交点横坐标为 $x_1$，$x_2$，由韦达定理得 $x_1+x_2=\frac{2\sqrt2k}{\frac13-k^2}$，$x_1x_2=-\frac3{\frac13-k^2}$. 由于 $y_i=kx_i+\sqrt2$，有 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=(1+k^2)x_1x_2+\sqrt2k(x_1+x_2)+2$. 代入上式化简，得到 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-2=\frac{k^2-3}{\frac13-k^2}$. 在 $|k|<1$ 时分子恒为负，因此该式大于零当且仅当 $\frac13-k^2<0$，即 $|k|>\frac{\sqrt3}{3}$. 故 $k\in\left(-1,-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3},1\right)$. \end{enumerate} \end{solution}