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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a}=(1,3)，b=(3,4)\boldsymbol{b}=(3,4)，若 (a−λb)⊥b(\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,5)\boldsymbol{a}=(2,5)，b=(λ,4)\boldsymbol{b}=(\lambda,4)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 λ=\lambda=______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 45∘45^\circ，ka−bk\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 垂直，则 k=k=______.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，向量 a=(sin⁡2θ,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)，b=(cos⁡θ,1)\boldsymbol{b} = (\cos \theta, 1)，若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 tan⁡θ=\tan \theta =______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
设 aa，bb，mm，n∈Rn \in \mathbf{R}，且 a2+b2=5a^2 + b^2 = 5，ma+nb=5ma + nb = 5，则 m2+n2\sqrt{m^{2} + n^{2}} 的最小值为______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 15 题（A） · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，向量 a=(sin⁡2θ,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)，b=(1,−cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, -\cos \theta)，若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 tan⁡θ=\tan \theta =______. \begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer} \begin{solution} 由向量数量积为零，得 a⋅b=sin⁡2θ−cos⁡2θ=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sin 2\theta-\cos^2\theta=0. 利用 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta，有 cos⁡θ(2sin⁡θ−cos⁡θ)=0\cos\theta(2\sin\theta-\cos\theta)=0. 因为 0<θ<π20<\theta<\frac\pi2，所以 cos⁡θ>0\cos\theta>0，从而 2sin⁡θ=cos⁡θ2\sin\theta=\cos\theta，即 tan⁡θ=12\tan\theta=\frac12. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,−1)\boldsymbol{a} = (2, -1)，b=(−1,m)\boldsymbol{b} = (-1, m)，c=(−1,2)\boldsymbol{c} = (-1, 2). 若 (a+b)∥c(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \parallel \boldsymbol{c}，则 m=m =______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,−1)\boldsymbol{a} = (2, -1)，b=(−1,m)\boldsymbol{b} = (-1, m)，c=(−1,2)\boldsymbol{c} = (-1, 2)，若 (a+b)∥c(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \parallel \boldsymbol{c}，则 m=m=______.

2010 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
关于平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，有下列三个命题：
① 若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}； ② 若 a=(1,k)\boldsymbol{a} = (1, k)，b=(−2,6)\boldsymbol{b} = (-2, 6)，a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 k=−3k = -3； ③ 非零向量 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=∣b∣=∣a−b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|，则 a\boldsymbol{a} 与 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}.
其中真命题的序号为______.（写出所有真命题的序号）.

2008 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
关于平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，有下列三个命题：
① 若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}； ② 若 a=(1,k)\boldsymbol{a} = (1, k)，b=(−2,6)\boldsymbol{b} = (-2, 6)，a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 k=−3k = -3； ③ 非零向量 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=∣b∣=∣a−b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|，则 a\boldsymbol{a} 与 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}.
其中真命题的序号为______. （写出所有真命题的序号）

2008 · 陕西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，平面内有三个向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC}，其中 OA→\overrightarrow{OA} 与 OB→\overrightarrow{OB} 的夹角为 120∘120^{\circ}，OA→\overrightarrow{OA} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 30∘30^{\circ}，且 ∣OA→∣=∣OB→∣=1\left|\overrightarrow{OA}\right| = \left|\overrightarrow{OB}\right| = 1，∣OC→∣=23\left|\overrightarrow{OC}\right| = 2\sqrt{3}. 若 OC→=λOA→+μOB→\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}（λ\lambda，μ∈R\mu \in \mathbf{R}），则 λ+μ\lambda + \mu 的值为______.

2007 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
如图，平面内有三个向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC}，其中 OA→\overrightarrow{OA} 与 OB→\overrightarrow{OB} 的夹角为 120∘120^{\circ}，OA→\overrightarrow{OA} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 30∘30^{\circ}，且 ∣OA→∣=∣OB→∣=1\left|\overrightarrow{OA}\right| = \left|\overrightarrow{OB}\right| = 1，∣OC→∣=23\left|\overrightarrow{OC}\right| = 2\sqrt{3}. 若 OC→=λOA→+μOB→\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}（λ\lambda，μ∈R\mu \in \mathbf{R}），则 λ+μ\lambda + \mu 的值为______.

2007 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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