已知双曲线 $C:x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n$（$n=2$，$3$，$\dots$）：过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $(x_n,y_n)$.

(1) 若 $k=\frac12$，求 $x_2$，$y_2$； (2) 证明：数列 $\{x_n-y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列； (3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\frac12$. 左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，$C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 $S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}$.

(1) 求椭圆方程； (2) 过点 $\left(0,-\frac32\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P$，$Q$. 在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0$？若存在，求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知双曲线 $\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），左右顶点分别为 $A_1$，$A_2$，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $P$，$Q$ 两点.

(1) 若离心率 $e=2$，求 $b$ 的值； (2) 若 $b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，点 $P$ 在第一象限，$\triangle MA_2P$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标； (3) 连接 $QO$（$O$ 为坐标原点）并延长交双曲线 $\Gamma$ 于点 $R$，若 $\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1$，求 $b$ 的取值范围.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A$ 为椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 上一点，$F_1$，$F_2$ 分别为椭圆的左，右焦点.

(1) 若点 $A$ 的横坐标为 $2$，求 $\left|AF_1\right|$ 的长； (2) 设 $\Gamma$ 的上，下顶点分别为 $M_1$，$M_2$，记 $\triangle AF_1F_2$ 的面积为 $S_1$，$\triangle AM_1M_2$ 的面积为 $S_2$，若 $S_1\ge S_2$，求 $\left|OA\right|$ 的取值范围； (3) 若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，设直线 $AF_2$ 与 $\Gamma$ 交于点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $K$，$KF_1$ 延长线与 $\Gamma$ 交于点 $C$，是否存在 $x$ 轴上方的点 $C$，使得 $\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}+\overrightarrow{F_1C} =\lambda\left(\overrightarrow{F_2A}+\overrightarrow{F_2B}+\overrightarrow{F_2C}\right)$（$\lambda\in\mathbf{R}$） 成立？若存在，请求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由.