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17高考真题15分概率与统计★★★★☆
设整数 N⩾2N\geqslant 2。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立。记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数。
（1）当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列；
（2）设 kk，mm 均为自然数。
（i）当 k⩽N−1k\leqslant N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)；
（ii）当 k+m⩽N−1k+m\leqslant N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)。

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18高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 A:x2a2+y2b2=1A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx = b 截得的线段长为 3\sqrt{3}。
(1) 求 AA 的标准方程；
(2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2 + y^2 = b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) (y1<y2y_1 < y_2)，AA 是椭圆的上顶点。记直线 AP,AQAP, AQ 的斜率分别为 k1,k2k_1, k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1（a>1a>1），过右焦点垂直于 xx 轴的直线被 EE 所截线段长为 2\sqrt{2}。
（1）求 EE 的离心率；
（2）设 OO 为坐标原点，给定点 G(t0,0)G(t_0, 0)（t0≠0t_0 \neq 0）；A(x0,y0)A(x_0, y_0)（y0≠0y_0 \neq 0）在 EE 上，过点 AA 作 yy 轴的垂线，交于点 BB，AOAO 与 GBGB 交于点 PP。当 AA 在 EE 上运动时，PP 的轨迹为 MM。
（i）求 MM 的方程；
（ii）曲线 MM 是否有中心点？当 t0t_0 为何值时，MM 有中心点？当 MM 有中心点时，平移 MM 到 M′M'，使 OO 为 M′M' 的中心点，说明 M′M' 为何形状？

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}。
（1）求 CC 的方程；
（2）设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR。
（i）若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程；
（ii）求 tan⁡∠PQR\tan\angle PQR 的最小值。

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19高考真题17分数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1 = 2，b1=1b_1 = 1，a2=b1+b2a_2 = b_1 + b_2，a4=b3−b1a_4 = b_3 - b_1。
(1) 求数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的通项公式；
(2) 记 En={x∈R∣x≤n,∃k∈N∗,x=ak 或 x=bk}E_n = \{x \in R \mid x \le n, \exists k \in N^*, x = a_k \text{ 或 } x = b_k\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数。
(i) 求 c3nc_{3n}；
(ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3n-1} (-1)^m \cdot a_m \cdot c_m。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf(x) = x\mathrm{e}^x + ax + b，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程为 y=−2x+1y = -2x+1。
（1）求 aa，bb；
（2）当 x>0x > 0 时，f(x+m)−f(x)>mf(x+m) - f(x) > m，求 mm 的取值范围；
（3）当 x>0x > 0 时，f(x+k)+f(k−x)>2f(k)f(x+k) + f(k-x) > 2f(k)，求 kk 的最小值。

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19高考真题17分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2x。对任意 x0∈Rx_0\in\mathbb{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}。
（1）若当 x⩾0x\geqslant 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)；
（2）若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\neq 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；
（3）设 f(x)f(x) 满足：①若 f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；②当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0)。
（i）证明：f(0)⩾1f(0)\geqslant 1；
（ii）证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增。

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20高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x) = e^x - \frac{2}{3}\sin x。
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程；
(2) 当 x∈[−13,+∞)x \in [-\frac{1}{3}, +\infty) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x) \ge 1 + \frac{x}{3}；
(3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af(\frac{1}{1}) \cdot f(\frac{1}{2}) \cdot f(\frac{1}{3}) \cdots f(\frac{1}{n}) \ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n \in N^* 都成立。

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