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17概率与统计★★★☆☆
工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 20232023 年前九年数据：
(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,1)(0,1) 还是 (1,2)(1,2) 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 20182018 年. 设 xx 为年份，颗粒物密度为 yy，现在有两个选择：y1=106.55e−0.461(x−2014)y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}，y2=a(x−2014)+83.743y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743（a∈Ra\in\mathbf{R}），其中 y1y_1 是回归方程，y2y_2 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 20232023 年实际颗粒物密度为 3.883.88，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 0.010.01）？

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18立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面 ABCDABCD 是矩形，点 HH 在线段 ADAD 上，PH⊥平面 ABCDPH\perp\text{平面 }ABCD，AB=2AB=2，AH=1AH=1，HD=4HD=4.
(1) 证明：HC⊥PBHC \perp PB； (2) 若四棱锥体积 VP−ABCD=1053V_{P-ABCD}=\frac{10\sqrt{5}}{3}，求二面角 C−PB−HC-PB-H 的大小.

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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1，点 PP 在 Γ\Gamma 上，F1F_1，F2F_2 分别为双曲线的左，右焦点.
(1) 求点 (2,0)\left( 2,0 \right) 到 Γ\Gamma 渐近线的距离； (2) 若 PF1→⋅PF2→=1\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1，求 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积； (3) 记 Ω\Omega 为双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 中满足 （x>0x>0， y≥−1\ y\ge -1） 或 （x<0x<0， y≤−1\ y\le -1） 的部分. 过点 F2F_2 的直线 ll 交 Ω\Omega 于 PP，QQ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 F2F_2 的直线 mm 交 Ω\Omega 于 MM，NN 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 λ\lambda，使得对任意直线 ll，都存在唯一对应的直线 mm 满足 λ∣PQ∣=∣MN∣\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

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17概率与统计★★☆☆☆
2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子 4×1004\times100 米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军成绩（单位：秒），数据按照升序排列.
(1) 求这组数据的极差与中位数； (2) 从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据大于 211211 的概率； (3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y=−0.311x+b^y=-0.311x+\hat b，年份 xx 的平均数为 20062006，预测 20282028 年男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军队的成绩（精确到 0.010.01 秒）.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是圆锥顶点，OO 为底面圆心，ABAB 为底面直径，且 AB=2AB=2.
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}，求圆锥侧面积； (2) 已知 QQ 是母线 PAPA 中点，点 CC，DD 在底面圆周上，且弧 ACAC 长为 π3\frac{\pi}{3}，CD∥ABCD\parallel AB. 设点 TT 在线段 OCOC 上，证明 QT∥PBDQT\parallel PBD 所在平面.

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19导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x2−(m+2)x+mln⁡xf(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(1)=0f(1)=0，求不等式 f(x)≤x2−1f(x)\le x^2-1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上存在极大值，求 mm 的取值范围.

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1（a>5a>\sqrt5），M(0,m)M(0,m)（m>0m>0），AA 为 Γ\Gamma 的右顶点.
(1) 若 Γ\Gamma 的焦点为 (2,0)(2,0)，求离心率 ee； (2) 若 a=4a=4，且 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}，求 mm； (3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为2， ll 与 Γ\Gamma 交于 CC，DD，且 ∠CMD\angle CMD 为钝角，求 aa 的取值范围.

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 定义域为 R\mathbf{R}. 对于正实数 aa，定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x)}M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}.
(1) 若 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，判断 π3\dfrac{\pi}{3} 是否是 MπM_{\pi} 的元素，请说明理由； (2) 若 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<0x<0），f(0)=0f(0)=0，且当 x>0x>0 时 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，Ma≠∅M_a\neq\varnothing，求 aa 的取值范围； (3) 若 y=f(x)y=f(x) 是偶函数，当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时 f(x)=1−xf(x)=1-x，且对任意 a∈(0,2)a\in(0,2)，有 Ma⊂M2M_a\subset M_2. 写出 f(x)f(x) 在 x∈(1,2)x\in(1,2) 的解析式，并证明：对任意实数 cc，函数 f(x)−cf(x)-c 在 [−3,3][-3,3] 上至多有9个零点.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，OO 为底面 ABCDABCD 的中心.
(1) 若 AP=5AP=5，AD=32AD=3\sqrt{2}，将 △POA\triangle POA 绕直线 POPO 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 AP=ADAP=AD，EE 为 PBPB 的中点，求直线 BDBD 与平面 AECAEC 所成角的大小.

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

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19概率与统计★★★☆☆
某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：
(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中 n=a+b+c+dn=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05.）

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

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21导数及其应用★★★★★
设 DD 是 R\mathbf{R} 的一个非空子集，y=f(x)y=f(x) 是定义在 DD 上的函数. 对于点 M(a,b)M(a,b)，记 s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2. 若对于点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0))，函数 y=s(x)y=s(x) 在 x=x0x=x_0 处取得最小值，则称 PP 是 MM 的 ff 最近点.
(1) 对于 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}，M(0,0)M(0,0)，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求证：存在 MM 的 ff 最近点； (2) 对于 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，M(1,0)M(1,0)，D=RD=\mathbf{R}，若曲线 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP 满足 MPMP 垂直于 y=f(x)y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0)) 处的切线，则 PP 是否为 MM 的 ff 最近点？ (3) 已知 D=RD=\mathbf{R}，y=f(x)y=f(x) 的导函数为 y=f′(x)y=f'(x)，且 y=g(x)y=g(x) 在 R\mathbf{R} 上的函数值恒正. 对任意 t∈Rt\in \mathbf{R}，点 M1M_1 的坐标为 (t−1,f(t)−g(t))(t-1,f(t)-g(t))，点 M2M_2 的坐标为 (t+1,f(t)+g(t))(t+1,f(t)+g(t)). 若对任意的 t∈Rt\in \mathbf{R}，总存在 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP，使得 PP 既是 M1M_1 的 ff 最近点，又是 M2M_2 的 ff 最近点，试求 y=f(x)y=f(x) 的单调性.

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17概率与统计★★★☆☆
2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共有 2525 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
棕色内饰2233
(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个，记事件 A 为“小明取到红色外观的汽车模型”，事件 B 为“小明取到棕色内饰的汽车模型”，求 P(B)P(B) 和 P(B∣A)P(B\mid A)，并据此判断事件 A 和事件 B 是否独立； (2) 该公司举行抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型，并给出以下假设：
(i) 取出的两个汽车模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰均不为同色，以及仅外观或仅内饰为同色； (ii) 按出现结果的可能性大小，概率越小奖项越高； (iii) 抽奖活动的奖金金额为：一等奖 600600 元，二等奖 300300 元，三等奖 150150 元.
请分析各奖项对应的结果，设 XX 为奖金额，写出 XX 的分布并求其数学期望.

2023 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB∥DCAB\parallel DC，AB⊥ADAB\perp AD，AB=2AB=2，AD=3AD=3，DC=4DC=4.

2023 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+af(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}，aa，c∈Rc\in\mathbf{R}
(1) 当 a=0a=0 时，是否存在实数 cc，使得 y=f(x)y=f(x) 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 y=f(x)y=f(x) 的图像过点 (1,3)(1,3)，且其与 xx 轴的负半轴有两个不同的交点，求 cc 的值及 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知三棱锥 P−ABCP-ABC，底面 ABCABC 为等边三角形，OO 为 ACAC 的中点，AP=AC=2AP=AC=2，且 PO⊥PO\perp 底面 ABCABC.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 VV； (2) 若 MM 为 BCBC 中点，求 PMPM 与平面 PACPAC 所成角的大小.

2022 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，AD=BC=6AD=BC=6，AB=20AB=20，∠DAB=∠ABC=120∘\angle DAB=\angle ABC=120^\circ，OO 为 ABAB 中点，曲线 CDCD 上任意一点到点 OO 的距离均相等，PP，MM，QQ 为曲线 CDCD 上的点，且 MO⊥ABMO\perp AB，点 PP 与点 QQ 关于直线 OMOM 对称.
(1) 若点 PP 与点 CC 重合，求 ∠POB\angle POB 的大小； (2) 点 PP 在何位置时，五边形 CPMQDCPMQD 的面积 SS 取到最大值，并求出该最大值.

2022 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），F1(−2,0)F_1(-\sqrt2,0)，F2(2,0)F_2(\sqrt2,0) 为 Γ\Gamma 的焦点，AA 为 Γ\Gamma 的下顶点，MM 为直线 l:x+y−42=0l:x+y-4\sqrt2=0 上一点.
(1) 若 a=2a=2，且 AMAM 的中点在 xx 轴上，求点 MM 的坐标； (2) 若直线 ll 与 yy 轴的交点为 BB，直线 AMAM 经过点 F2F_2，且在 △ABM\triangle ABM 中有一内角的余弦值为 35\frac35，求 bb 的值； (3) 若 Γ\Gamma 上一点 PP 到 ll 的距离为 dd，且 ∣PF1∣+∣PF2∣+d=6|PF_1|+|PF_2|+d=6，求 dd 的最小值.

2022 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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