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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 为 BB1BB_1 上一点，已知 BM=2BM=2，AD=4AD=4，CD=3CD=3，AA1=5AA_1=5.
(1) 求直线 A1CA_1C 与平面 ABCDABCD 的夹角； (2) 求点 AA 到平面 A1MCA_1MC 的距离.

2019 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

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19三角函数★★★★☆
如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段 ABAB 和四分之一圆弧 BC^\widehat{BC} 构成，DD 为一海岛，BB 在 DD 的正北方向，且 BB，DD 相距 39.2 千米39.2\text{ 千米}，AA 在 DD 的北偏西 58∘58^\circ 方向，CC 在 DD 的北偏东 22∘22^\circ 方向，CC 在 BB 的南偏东 68∘68^\circ 方向.
(1) 若沿弧 BC^\widehat{BC} 建观光道，计算该观光道的长度；（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}） (2) 现规划在该海岸线上选取一点 EE，修建从 EE 直通 DD 的公路桥，已知 AA，BB 相距 40 千米40\text{ 千米}，求公路桥 DEDE 的最短长度.（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}）

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，直线 ll 过 F2F_2 交椭圆于 AA，BB 两点.
(1) 若 ABAB 垂直于 xx 轴时，求 ∣AB∣|AB|； (2) 当 ∠F1AB=90∘\angle F_1AB=90^\circ 时，AA 在 xx 轴上方时，求 AA，BB 的坐标； (3) 若直线 AF1AF_1 交 yy 轴于 MM，直线 BF1BF_1 交 yy 轴于 NN，是否存在直线 ll，使 S△F1AB=S△F1MNS_{\triangle F_1AB}=S_{\triangle F_1MN}，若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

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