已知 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，正方形 $ABCD$ 绕 $AB$ 旋转形成一个圆柱.

(1) 求该圆柱的表面积； (2) 正方形 $ABCD$ 绕 $AB$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 至 $ABC_1D_1$，求线段 $CD_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角.

已知函数 $f(x)=\sin\omega x$，$\omega>0$.

(1) $f(x)$ 的周期是 $4\pi$，求 $\omega$，并求 $f(x)=\frac12$ 的解集； (2) 已知 $\omega=1$，$g(x)=f^2(x)+\sqrt3\,f(-x)f\!\left(\frac\pi2-x\right)$，$x\in\left[0,\frac\pi4\right]$，求 $g(x)$ 的值域.

在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 $v=f(x)=\frac{q}{x}$，其中 $x$ 为道路密度，$q$ 为车辆密度，且 $f(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}$（$0<x<40$）， $f(x)=-k(x-40)+85$（$40\le x\le80$）.

(1) 若交通流量 $v>95$，求道路密度 $x$ 的取值范围； (2) 已知道路密度 $x=80$ 时，测得交通流量 $v=50$，求车辆密度 $q$ 的最大值.

已知双曲线 $\Gamma_1:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与圆 $\Gamma_2:x^2+y^2=4+b^2$（$b>0$）交于点 $A(x_A,y_A)$（第一象限），曲线 $\Gamma$ 为 $\Gamma_1$，$\Gamma_2$ 上取满足 $x>|x_A|$ 的部分.

(1) 若 $x_A=\sqrt6$，求 $b$ 的值； (2) 当 $b=\sqrt5$，$\Gamma_2$ 与 $x$ 轴交点记作点 $F_1$，$F_2$，$P$ 是曲线 $\Gamma$ 上一点，且在第一象限，且 $|PF_1|=8$，求 $\angle F_1PF_2$； (3) 过点 $D\left(0,\frac{b^2}{2}+2\right)$ 斜率为 $-\frac{b}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 只有两个交点，记为 $M$，$N$，用 $b$ 表示 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$，并求 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$ 的取值范围.

已知数列 $\{a_n\}$ 为有限数列，满足 $|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|$，则称 $\{a_n\}$ 满足性质 $P$.

(1) 判断数列 $3$，$2$，$5$，$1$ 和 $4$，$3$，$2$，$5$，$1$ 是否具有性质 $P$，请说明理由； (2) 若 $a_1=1$，公比为 $q$ 的等比数列，项数为 $10$，具有性质 $P$，求 $q$ 的取值范围； (3) 若 $\{a_n\}$ 是 $1$，$2$，$3$，$\ldots$，$m$ 的一个排列（$m\ge4$），$\{b_n\}$ 符合 $b_k=a_{k+1}$（$k=1$，$2$，$\ldots$，$m-1$），$\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 都具有性质 $P$，求所有满足条件的数列 $\{a_n\}$.