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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=BC=2AB=BC=2，AA1=3AA_1=3.
(1) 若 PP 是棱 A1D1A_1D_1 上的动点，求三棱锥 C−PADC-PAD 的体积； (2) 求直线 AB1AB_1 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 的夹角大小.

2021 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 a=3a=3，b=2cb=2c.
(1) 若 A=2π3A=\frac{2\pi}{3}，求 S△ABCS_{\triangle ABC}； (2) 若 2sin⁡B−sin⁡C=12\sin B-\sin C=1，求 C△ABCC_{\triangle ABC}.

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19数列★★★☆☆
已知一企业今年第一季度的营业额为 1.11.1 亿元，往后每个季度增加 0.050.05 亿元，第一季度的利润为 0.160.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%4\%.
(1) 求今年起的前 2020 个季度的总营业额； (2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 18%18\%？

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ:x22+y2=1\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1，F1F_1，F2F_2 是其左，右焦点，直线 ll 过点 P(m,0)P(m,0)（m≤−2m\le -\sqrt2），交椭圆于 AA，BB 两点，且 AA，BB 在 xx 轴上方，点 AA 在线段 BPBP 上.
(1) 若 BB 是上顶点，∣BF1→∣=∣PF1→∣\left| \overrightarrow{BF_1} \right|=\left| \overrightarrow{PF_1} \right|，求 mm 的值； (2) 若 F1A→⋅F2A→=13\overrightarrow{F_1A}\cdot \overrightarrow{F_2A}=\frac13，且原点 OO 到直线 ll 的距离为 41515\frac{4\sqrt{15}}{15}，求直线 ll 的方程； (3) 证明：对于任意 m<−2m<-\sqrt2，使得 F1A→∥F2B→\overrightarrow{F_1A}\parallel \overrightarrow{F_2B} 的直线有且仅有一条.

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21函数与初等函数★★★★★
已知 x1x_1，x2∈Rx_2\in \mathbf{R}，若对任意的 x2−x1∈Sx_2-x_1\in S，f(x2)−f(x1)∈Sf(x_2)-f(x_1)\in S，则有定义：f(x)f(x) 是在 SS 关联的.
(1) 判断和证明 f(x)=2x−1f(x)=2x-1 是否在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联？是否有 [0,1][0,1] 关联？ (2) 若 f(x)f(x) 是在 {3}\{3\} 关联的，f(x)f(x) 在 x∈[0,3)x\in[0,3) 时，f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x，求解不等式 2≤f(x)≤32\le f(x)\le 3； (3) 证明：f(x)f(x) 是 {1}\{1\} 关联的，且是在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联的，当且仅当“f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 是关联的”.

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