2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共有 $25$ 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个，记事件 A 为“小明取到红色外观的汽车模型”，事件 B 为“小明取到棕色内饰的汽车模型”，求 $P(B)$ 和 $P(B\mid A)$，并据此判断事件 A 和事件 B 是否独立； (2) 该公司举行抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型，并给出以下假设：

(i) 取出的两个汽车模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰均不为同色，以及仅外观或仅内饰为同色； (ii) 按出现结果的可能性大小，概率越小奖项越高； (iii) 抽奖活动的奖金金额为：一等奖 $600$ 元，二等奖 $300$ 元，三等奖 $150$ 元.

请分析各奖项对应的结果，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布并求其数学期望.

在四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB\parallel DC$，$AB\perp AD$，$AB=2$，$AD=3$，$DC=4$.

设函数 $f(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}$，$a$，$c\in\mathbf{R}$

(1) 当 $a=0$ 时，是否存在实数 $c$，使得 $y=f(x)$ 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 $y=f(x)$ 的图像过点 $(1,3)$，且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点，求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.

已知抛物线 $\Gamma:y^2=4x$，第一象限内点 $A$ 在 $\Gamma$ 上，$A$ 的纵坐标是 $a$.

(1) 若 $A$ 到准线的距离为 $3$，求 $a$； (2) 若 $a=4$，$B$ 在 $x$ 轴上，且线段 $AB$ 的中点在 $\Gamma$ 上，求点 $B$ 的坐标及坐标原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离； (3) 直线 $l:x=-3$，令 $P$ 是第一象限 $\Gamma$ 上异于 A 的一点，直线 $AP$ 交 $l$ 于 $Q$，$H$ 是 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 A 满足“对于任意 $P$ 都有 $\left|HQ\right|>4$”，求 $a$ 的取值范围.

已知 $f(x)=\ln x$. 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f(a_1)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_2)$，且 $a_2>0$；曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f(a_2)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_3)$；以此类推，直至 $a_m\le 0$ 时停止，得到数列 $\{a_n\}$.

(1) 证明：当正整数 $n\ge 2$ 时，$a_n=\ln a_{n-1}-1$； (2) 当正整数 $n\ge 2$ 时，试比较 $a_n$ 与 $a_{n-1}-2$ 的大小； (3) 若正整数 $k\ge 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_k$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值；若不存在，试说明理由.