如图，在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，$O$ 为底面 $ABCD$ 的中心.

(1) 若 $AP=5$，$AD=3\sqrt{2}$，将 $\triangle POA$ 绕直线 $PO$ 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 $AP=AD$，$E$ 为 $PB$ 的中点，求直线 $BD$ 与平面 $AEC$ 所成角的大小.

若 $f(x)=\log_a x$（$a>0$，$a\ne 1$）.

(1) $y=f(x)$ 过 $(4,2)$，求 $f(2x-2)<f(x)$ 的解集； (2) 存在 $x$ 使得 $f(x+1)$，$f(ax)$，$f(x+2)$ 成等差数列，求 $a$ 的取值范围.

某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：

(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中 $n=a+b+c+d$，$P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05$.）

已知双曲线 $\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），左右顶点分别为 $A_1$，$A_2$，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $P$，$Q$ 两点.

(1) 若离心率 $e=2$，求 $b$ 的值； (2) 若 $b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，点 $P$ 在第一象限，$\triangle MA_2P$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标； (3) 连接 $QO$（$O$ 为坐标原点）并延长交双曲线 $\Gamma$ 于点 $R$，若 $\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1$，求 $b$ 的取值范围.

设 $D$ 是 $\mathbf{R}$ 的一个非空子集，$y=f(x)$ 是定义在 $D$ 上的函数. 对于点 $M(a,b)$，记 $s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2$. 若对于点 $P(x_0,f(x_0))$，函数 $y=s(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值，则称 $P$ 是 $M$ 的 $f$ 最近点.

(1) 对于 $f(x)=\frac{1}{x}$，$M(0,0)$，$D=(0,+\infty)$，求证：存在 $M$ 的 $f$ 最近点； (2) 对于 $f(x)=\mathrm{e}^x$，$M(1,0)$，$D=\mathbf{R}$，若曲线 $y=f(x)$ 上一点 $P$ 满足 $MP$ 垂直于 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线，则 $P$ 是否为 $M$ 的 $f$ 最近点？ (3) 已知 $D=\mathbf{R}$，$y=f(x)$ 的导函数为 $y=f'(x)$，且 $y=g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的函数值恒正. 对任意 $t\in \mathbf{R}$，点 $M_1$ 的坐标为 $(t-1,f(t)-g(t))$，点 $M_2$ 的坐标为 $(t+1,f(t)+g(t))$. 若对任意的 $t\in \mathbf{R}$，总存在 $y=f(x)$ 上一点 $P$，使得 $P$ 既是 $M_1$ 的 $f$ 最近点，又是 $M_2$ 的 $f$ 最近点，试求 $y=f(x)$ 的单调性.