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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A=(−∞,3)A=(-\infty,3)，B=(2,+∞)B=(2,+\infty)，则 A∩B=A\cap B=______.

2019 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
已知 z∈Cz\in\mathbb{C} 且满足 1z−5=i\frac1{z-5}=\mathrm{i}，求 z=z=______.

2019 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0,2)\boldsymbol{a}=(1,0,2)，b=(2,1,0)\boldsymbol{b}=(2,1,0)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为______.

2019 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
已知二项式 (2x+1)5(2x+1)^5，则展开式中含 x2x^2 项的系数为______.

2019 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足
{x≥0,y≥0,x+y≤2\begin{cases} x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y\le2 \end{cases}
，求 z=2x−3yz=2x-3y 的最小值为______.

2019 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 周期为 11，且当 0<x≤10<x\le1 时，f(x)=−log⁡2xf(x)=-\log_2x，则 f(32)=f\left(\frac32\right)=______.

2019 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 xx，y∈R+y\in\mathbf{R}^+，且 1x+2y=3\frac1x+2y=3，则 yx\frac yx 的最大值为______.

2019 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，且满足 Sn+an=2S_n+a_n=2，则 S5=S_5=______.

2019 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
过 y2=4xy^2=4x 的焦点 FF 并垂直于 xx 轴的直线分别与 y2=4xy^2=4x 交于 AA，BB，AA 在 BB 上方，MM 为抛物线上一点，OM→=λOA→+(λ−2)OB→\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+(\lambda-2)\overrightarrow{OB}，则 λ=\lambda=______.

2019 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
某三位数密码锁，每位数字在 0∼90\sim9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是______.

2019 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
常数 a>0a>0，将函数 y=2xy=\frac2x（x>0x>0）的图象先向右平移 11 个单位，再向下平移 aa 个单位，然后将所得的图象在 xx 轴下方的部分沿 xx 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 f(x)=∣2x−1−a∣f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|（x>1x>1）的图象 LL，当 a=a0a=a_0 时，LL 与 xx 轴交点为 AA，在 LL 上任意一点 PP（PP 异于 AA），总存在一点 QQ 使得 AP⊥AQAP\perp AQ 且 ∣AP∣=∣AQ∣|AP|=|AQ|，则 a0=a_0=______.

2019 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★☆☆☆☆
已知直线方程 2x−y+c=02x-y+c=0 的一个方向向量 dd 可以是（ ）
A.
(2,−1)(2,-1)
B.
(2,1)(2,1)
C.
(−1,2)(-1,2)
D.
(1,2)(1,2)

2019 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★☆☆☆☆
一个直角三角形的两条直角边长分别为 11 和 22，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
88

2019 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知 tan⁡α⋅tan⁡β=tan⁡(α+β)\tan\alpha\cdot\tan\beta=\tan(\alpha+\beta).
① 存在角 α\alpha 在第一象限，角 β\beta 在第三象限； ② 存在角 α\alpha 在第二象限，角 β\beta 在第四象限.
那么（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均正确
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均错误
C.
\circled1\circled{1}正确，\circled2\circled{2}错误
D.
\circled1\circled{1}错误，\circled2\circled{2}正确

2019 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 为 BB1BB_1 上一点，已知 BM=2BM=2，AD=4AD=4，CD=3CD=3，AA1=5AA_1=5.
(1) 求直线 A1CA_1C 与平面 ABCDABCD 的夹角； (2) 求点 AA 到平面 A1MCA_1MC 的距离.

2019 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

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19三角函数★★★★☆
如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段 ABAB 和四分之一圆弧 BC^\widehat{BC} 构成，DD 为一海岛，BB 在 DD 的正北方向，且 BB，DD 相距 39.2 千米39.2\text{ 千米}，AA 在 DD 的北偏西 58∘58^\circ 方向，CC 在 DD 的北偏东 22∘22^\circ 方向，CC 在 BB 的南偏东 68∘68^\circ 方向.
(1) 若沿弧 BC^\widehat{BC} 建观光道，计算该观光道的长度；（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}） (2) 现规划在该海岸线上选取一点 EE，修建从 EE 直通 DD 的公路桥，已知 AA，BB 相距 40 千米40\text{ 千米}，求公路桥 DEDE 的最短长度.（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}）

2019 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，直线 ll 过 F2F_2 交椭圆于 AA，BB 两点.
(1) 若 ABAB 垂直于 xx 轴时，求 ∣AB∣|AB|； (2) 当 ∠F1AB=90∘\angle F_1AB=90^\circ 时，AA 在 xx 轴上方时，求 AA，BB 的坐标； (3) 若直线 AF1AF_1 交 yy 轴于 MM，直线 BF1BF_1 交 yy 轴于 NN，是否存在直线 ll，使 S△F1AB=S△F1MNS_{\triangle F_1AB}=S_{\triangle F_1MN}，若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2019 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

2019 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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