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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,4}A=\{1,2,4\}，集合 B={2,4,5}B=\{2,4,5\}，则 A∩B=A\cap B=______.

2020 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞n+13n−1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1}=______.

2020 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
已知复数 z=1−2iz=1-2\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 ∣z∣=|z|=______.

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3，f−1(x)f^{-1}(x) 是 f(x)f(x) 的反函数，则 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2020 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足 x+y−2≥0x+y-2\ge0，x+2y−3≤0x+2y-3\le0，y≥0y\ge0， 则 z=y−2xz=y-2x 的最大值为______.

2020 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知行列式
∣1ab2cd300∣=6\left|\begin{matrix} 1 & a & b\\ 2 & c & d\\ 3 & 0 & 0 \end{matrix}\right|=6
，则
∣abcd∣\left|\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\right|
=______.

2020 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★★☆☆
已知有四个数 11，22，aa，bb，这四个数的中位数是 33，平均数是 44，则 ab=ab=______.

2020 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，且 a1+a10=a9a_1+a_{10}=a_9，则 a1+a2+⋯+a9a10\frac{a_1+a_2+\cdots+a_9}{a_{10}}=______.

2020 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 66 个人挑选 44 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 11 个人，第二天安排 11 个人，第三天安排 22 个人，则共有______ 种安排情况.

2020 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x24+y23=1C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 的右焦点为 FF，直线 ll 经过椭圆右焦点 FF，交椭圆 CC 于 PP，QQ 两点（点 PP 在第二象限），若点 QQ 关于 xx 轴对称点为 Q′Q'，且满足 PQ⊥FQ′PQ\perp FQ'，求直线 ll 的方程是______.

2020 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 同时满足下列两个条件：
(1) 对任意的 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，f(x0)f(x_0) 的值为 x0x_0 或 x02x_0^2； (2) 关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a 无实数解，
则 aa 的取值范围是______.

2020 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，…\ldots，bk\boldsymbol{b}_k（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）是平面内两两互不相等的向量，满足 ∣a1−a2∣=1|\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2|=1，且 ∣ai−bj∣∈{1,2}|\boldsymbol{a}_i-\boldsymbol{b}_j|\in\{1,2\}（其中 i=1i=1，22，j=1j=1，22，…\ldots，kk），则 kk 的最大值是______.

2020 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
下列不等式恒成立的是（ ）
A.
a2+b2≤2aba^2+b^2\le2ab
B.
a2+b2≥−2aba^2+b^2\ge-2ab
C.
a+b≥2∣ab∣a+b\ge2\sqrt{|ab|}
D.
a2+b2≤−2aba^2+b^2\le-2ab

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14解析几何★★☆☆☆
已知直线方程 3x+4y+1=03x+4y+1=0 的一个参数方程可以是（ ）
A.
x=1+3tx=1+3t，y=−1−4ty=-1-4t（tt 为参数）
B.
x=1−4tx=1-4t，y=−1+3ty=-1+3t（tt 为参数）
C.
x=1−3tx=1-3t，y=−1+4ty=-1+4t（tt 为参数）
D.
x=1+4tx=1+4t，y=1−3ty=1-3t（tt 为参数）

2020 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
在棱长为 1010 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为左侧面 ADD1A1ADD_1A_1 上一点，已知点 PP 到 A1D1A_1D_1 的距离为 33，PP 到 AA1AA_1 的距离为 22，则过点 PP 且与 A1CA_1C 平行的直线交正方体于 PP，QQ 两点，则 QQ 点所在的平面是（ ）
A.
AA1B1BAA_1B_1B
B.
BB1C1CBB_1C_1C
C.
CC1D1DCC_1D_1D
D.
ABCDABCD

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCDABCD 是边长为 11 的正方形，正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 旋转形成一个圆柱.
(1) 求该圆柱的表面积； (2) 正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 逆时针旋转 π2\frac{\pi}{2} 至 ABC1D1ABC_1D_1，求线段 CD1CD_1 与平面 ABCDABCD 所成的角.

2020 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωxf(x)=\sin\omega x，ω>0\omega>0.
(1) f(x)f(x) 的周期是 4π4\pi，求 ω\omega，并求 f(x)=12f(x)=\frac12 的解集； (2) 已知 ω=1\omega=1，g(x)=f2(x)+3 f(−x)f ⁣(π2−x)g(x)=f^2(x)+\sqrt3\,f(-x)f\!\left(\frac\pi2-x\right)，x∈[0,π4]x\in\left[0,\frac\pi4\right]，求 g(x)g(x) 的值域.

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ1:x24−y2b2=1\Gamma_1:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 与圆 Γ2:x2+y2=4+b2\Gamma_2:x^2+y^2=4+b^2（b>0b>0）交于点 A(xA,yA)A(x_A,y_A)（第一象限），曲线 Γ\Gamma 为 Γ1\Gamma_1，Γ2\Gamma_2 上取满足 x>∣xA∣x>|x_A| 的部分.
(1) 若 xA=6x_A=\sqrt6，求 bb 的值； (2) 当 b=5b=\sqrt5，Γ2\Gamma_2 与 xx 轴交点记作点 F1F_1，F2F_2，PP 是曲线 Γ\Gamma 上一点，且在第一象限，且 ∣PF1∣=8|PF_1|=8，求 ∠F1PF2\angle F_1PF_2； (3) 过点 D(0,b22+2)D\left(0,\frac{b^2}{2}+2\right) 斜率为 −b2-\frac{b}{2} 的直线 ll 与曲线 Γ\Gamma 只有两个交点，记为 MM，NN，用 bb 表示 OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}，并求 OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON} 的取值范围.

2020 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

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