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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U={1,2,3,4,5}U=\{1,2,3,4,5\}，集合 A={2,4}A=\{2,4\}，则 Aˉ=\bar{A}=______.

2024 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
已知
f(x)={x,x>0,1,x≤0,f(x)=\begin{cases} \sqrt{x}, & x>0,\\ 1, & x\le 0, \end{cases}
则 f(3)=f(3)=______.

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03不等式★☆☆☆☆
已知 x∈Rx\in \mathbf{R}，则不等式 x2−2x−3<0x^2-2x-3<0 的解集为______.

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=x3+af(x)=x^3+a，x∈Rx\in \mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，则 a=a=______.

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05平面向量★☆☆☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，a=(2,5)\boldsymbol{a}=(2,5)，b=(6,k)\boldsymbol{b}=(6,k)，且 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 k=k=______.

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06计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (x+1)n(x+1)^n 的二项展开式中，若各项系数和为 32，则 x2x^2 项的系数为______.

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07解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 上有一点 PP 到准线的距离为 9，那么点 PP 到 xx 轴的距离为______.

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08概率与统计★★☆☆☆
小王参加知识竞赛，题库中 A 组题有 50005000 道，B 组题有 40004000 道，C 组题有 30003000 道，若小王做对这三组题的概率依次为 0.920.92，0.860.86，0.720.72，则随机从题库中抽取一道题，小王做对的概率是______.

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09复数★★★☆☆
设 m∈Rm\in \mathbf{R}，若虚数 zz 的实部为 1，且 z+2z=mz+\frac{2}{z}=m，则 m=m=______.

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10计数原理与组合数学★★★★☆
已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数，若该集合中任意两个数的积均为偶数，则该集合的元素个数的最大值为______.

2024 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
海上有灯塔 OO，AA，BB 和船只 TT，AA 在 OO 的正东方向，BB 在 OO 的正北方向，OA=OBOA=OB，OO，AA，TT，BB 按逆时针排列. 若 ∠ATO=37∘\angle ATO=37^\circ，∠BTO=16.5∘\angle BTO=16.5^\circ，则 ∠BOT=\angle BOT=______（精确到 0.1∘0.1^\circ）.

2024 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★★★
等比数列 {an}\{a_n\} 满足首项 a1>0a_1>0，公比 q>1q>1，记 In={x−y∣x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}，若对任意正整数 nn，集合 InI_n 都是闭区间，则 qq 的取值范围是______.

2024 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★☆☆☆☆
已知气温（单位 ∘C^{\circ}\mathrm C）和海水表层温度（单位：摄氏度）相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A.
随着气温由低变高，海水表层温度由低变高
B.
随着气温由低变高，海水表层温度由高变低
C.
随着气温由低变高，海水表层温度有由低变高的趋势
D.
随着气温由低变高，海水表层温度有由高变低的趋势

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14三角函数★☆☆☆☆
下列函数 f(x)f(x) 的最小正周期是 2π2\pi 的是（ ）
A.
y=sin⁡x+cos⁡xy=\sin x+\cos x
B.
y=sin⁡xcos⁡xy=\sin x\cos x
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy=\sin^2 x+\cos^2 x
D.
y=sin⁡2x−cos⁡2xy=\sin^2 x-\cos^2 x

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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

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16函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，定义集合 M={x0∣x0∈R, ∀x∈(−∞,x0), f(x)<f(x0)}M=\{x_0\mid x_0\in \mathbf{R},\ \forall x\in(-\infty,x_0),\ f(x)<f(x_0)\}. 在使得 M=[−1,1]M=[-1,1] 的所有 f(x)f(x) 中，下列成立的是（ ）
A.
存在 y=f(x)y=f(x) 是偶函数
B.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处取最大值
C.
存在 y=f(x)y=f(x) 是严格增函数
D.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=−1x=-1 处取到极小值

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，OO 为底面 ABCDABCD 的中心.
(1) 若 AP=5AP=5，AD=32AD=3\sqrt{2}，将 △POA\triangle POA 绕直线 POPO 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 AP=ADAP=AD，EE 为 PBPB 的中点，求直线 BDBD 与平面 AECAEC 所成角的大小.

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

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19概率与统计★★★☆☆
某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：
(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中 n=a+b+c+dn=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05.）

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

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21导数及其应用★★★★★
设 DD 是 R\mathbf{R} 的一个非空子集，y=f(x)y=f(x) 是定义在 DD 上的函数. 对于点 M(a,b)M(a,b)，记 s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2. 若对于点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0))，函数 y=s(x)y=s(x) 在 x=x0x=x_0 处取得最小值，则称 PP 是 MM 的 ff 最近点.
(1) 对于 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}，M(0,0)M(0,0)，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求证：存在 MM 的 ff 最近点； (2) 对于 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，M(1,0)M(1,0)，D=RD=\mathbf{R}，若曲线 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP 满足 MPMP 垂直于 y=f(x)y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0)) 处的切线，则 PP 是否为 MM 的 ff 最近点？ (3) 已知 D=RD=\mathbf{R}，y=f(x)y=f(x) 的导函数为 y=f′(x)y=f'(x)，且 y=g(x)y=g(x) 在 R\mathbf{R} 上的函数值恒正. 对任意 t∈Rt\in \mathbf{R}，点 M1M_1 的坐标为 (t−1,f(t)−g(t))(t-1,f(t)-g(t))，点 M2M_2 的坐标为 (t+1,f(t)+g(t))(t+1,f(t)+g(t)). 若对任意的 t∈Rt\in \mathbf{R}，总存在 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP，使得 PP 既是 M1M_1 的 ff 最近点，又是 M2M_2 的 ff 最近点，试求 y=f(x)y=f(x) 的单调性.

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