在 $\triangle ABC$ 中，$c=2b\cos B$，$C=\dfrac{2\pi}{3}$.

(1) 求 $B$ 的大小； (2) 再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $\triangle ABC$ 存在且唯一确定，求 $BC$ 边上中线的长.

① $c=\sqrt2b$； ② $\triangle ABC$ 的周长为 $4+2\sqrt3$； ③ $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt3}{4}$.

如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为 $A_1D_1$ 的中点，$B_1C_1$ 与平面 $CDE$ 交于点 $F$.

(1) 求证：$F$ 为 $B_1C_1$ 中点； (2) 若 $M$ 是棱 $A_1B_1$ 上一点，且二面角 $M-FC-E$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，求 $\dfrac{A_1M}{A_1B_1}$ 的值.

在核酸检测中，“$k$ 合 1”混采核酸检测是指：先将 $k$ 个人的样本混合在一起进行 1 次检测，如果这 $k$ 个人都没感染新冠病毒，则检测结果为阴性；如果这 $k$ 个人中有感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行一次检测，得到每人的检测结果，检测结束. 现对 $100$ 人进行核酸检测，假设其中只有 $2$ 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

(1) 将这 $100$ 人随机分成 $10$ 组，每组 $10$ 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.

(i) 如果感染新冠病毒的 $2$ 人在同一组，求检测的总次数； (ii) 已知感染新冠病毒的 $2$ 人在同一组的概率为 $\dfrac{1}{11}$，设 $X$ 是检测的总次数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $EX$； (2) 将这 $100$ 人随机分成 $20$ 组，每组 $5$ 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测. 设 $Y$ 是检测的总次数，试判断数学期望 $EY$ 与（1）中的 $EX$ 的大小.（结论不要求证明）

已知函数 $f(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}$.

(1) 若 $a=0$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，并求其最大值与最小值.

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(0,-2)$，以椭圆 $E$ 的四个顶点为顶点的四边形面积为 $4\sqrt5$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 过点 $P(0,-3)$ 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B$，$C$，直线 $AB$，$AC$ 分别与直线 $y=-3$ 交于 $M$，$N$. 当 $|PM|+|PN|\le15$ 时，求 $k$ 的取值范围.

设 $p$ 为实数. 若无穷数列 $\{a_n\}$ 满足如下三个性质，则称 $\{a_n\}$ 为 $R_p$ 数列：

① $a_1+p\ge0$，且 $a_2+p=0$； ② $a_{4n-1}<a_{4n}$（$n=1$，$2$，$\ldots$）； ③ $a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}$（$m=1$，$2$，$\ldots$；$n=1$，$2$，$\ldots$）.

(1) 如果数列 $\{a_n\}$ 的前四项分别为 $2$，$-2$，$-2$，$-1$，那么 $\{a_n\}$ 是否可能为 $R_2$ 数列？说明理由； (2) 若数列 $\{a_n\}$ 是 $R_0$ 数列，求 $a_5$； (3) 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，是否存在 $R_p$ 数列 $\{a_n\}$，使得 $S_n\ge S_{10}$ 恒成立？如果存在，求出所有的 $p$；如果不存在，说明理由.