如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp \text{平面 }ABC$，$PA=AB=BC=1$，$PC=\sqrt{3}$.

(1) 求证：$BC\perp \text{平面 }PAB$； (2) 求二面角 $A-PC-B$ 的大小.

设函数 $f(x)=\sin \omega x\cos \varphi+\cos \omega x\sin \varphi$（$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）.

(1) 若 $f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\varphi$ 的值； (2) 已知 $f(x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]$ 上单调递增，$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=1$，再从条件 $\circled{1}$，条件 $\circled{2}$，条件 $\circled{3}$ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在，求 $\omega$，$\varphi$ 的值.

条件 $\circled{1}$：$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$；

条件 $\circled{2}$：$f\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1$；

条件 $\circled{3}$：$f(x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减.

为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示. 在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 用频率估计概率.

(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”，1 天“下跌”，1 天“不变”的概率； (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. （结论不要求证明）

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$） 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$A$，$C$ 分别是 $E$ 的上，下顶点，$B$，$D$ 分别是 $E$ 的左，右顶点，$|AC|=4$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $PD$ 与直线 $BC$ 交于点 $M$，直线 $PA$ 与直线 $y=-2$ 交于点 $N$. 求证：$MN\parallel CD$.

设函数 $f(x)=x-x^3\mathrm{e}^{ax+b}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 设函数 $g(x)=f'(x)$，求 $g(x)$ 的单调区间； (3) 求 $f(x)$ 的极值点个数.

已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的项数均为 $m$（$m>2$），且 $a_n$，$b_n\in\{1,2,\dots,m\}$，$\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n$，$B_n$，并规定 $A_0=B_0=0$. 对于 $k\in\{0,1,2,\dots,m\}$，定义 $r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}$，其中，$\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数.

(1) 若 $a_1=2$，$a_2=1$，$a_3=3$，$b_1=1$，$b_2=3$，$b_3=3$，求 $r_0$，$r_1$，$r_2$，$r_3$ 的值； (2) 若 $a_1\ge b_1$，且 $2r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}$（$j=1$，$2$，$\dots$，$m-1$），求 $r_n$； (3) 证明：存在 $p$，$q$，$s$，$t\in\{0,1,2,\dots,m\}$，满足 $p>q$，$s>t$，使得 $A_p+B_t=A_q+B_s$.