关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$，以下说法正确的有（ ）

在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A=-\dfrac13$，$a\sin C=4\sqrt2$.

(1) 求 $c$； (2) 在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 $\triangle ABC$ 存在，求 $BC$ 的高.

$\text{\circled{1}} \, a=6$，$\text{\circled{2}} \, b\sin C= \frac{10\sqrt2}{3}$，$\text{\circled{3}} \, S_{\triangle ABC}=10\sqrt2$

四棱锥 $P-ABCD$，$\triangle ACD$ 与 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，$\angle ADC=90^\circ$，$\angle BAC=90^\circ$，$E$ 为 $BC$ 中点.

(1) $F$ 为 $PD$ 中点，$G$ 为 $PE$ 中点，证明 $FG\parallel$ 平面 $PAB$； (2) 若 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$\ PA=AC$，求 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值.

有一道选择题考查某知识点. 甲，乙两校各随机抽取 $100$ 人，甲校有 $80$ 人答对，乙校有 $75$ 人答对，用频率估计概率.

(1) 从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲乙两校各随机抽取 1 人，设 $X$ 为做对人数，求 $P(X=1)$ 与 $E(X)$； (3) 若甲校同学掌握该知识点，则有 $100\%$ 的概率做对该题目；乙校同学掌握该知识点，则有 $85\%$ 的概率做对该题目；未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 $p_1$，乙校学生掌握该知识点的概率为 $p_2$，比较 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小.

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆上一点到两焦点距离之和为 $4$.

(1) 求椭圆方程； (2) 设 $O=(0,0)$，$M(x_0,y_0)$（$x_0\ne0$）为椭圆上一点，直线 $x_0x+2y_0y-4=0$ 与直线 $y=2$，$y=-2$ 交于 $A$，$B$. $S_1$，$S_2$ 分别为 $\triangle OAM$ 与 $\triangle OBM$ 的面积，比较 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 与 $\dfrac{|OA|}{|OB|}$ 的大小.

函数 $f:(-1,+\infty)\to\mathbf{R}$，$f(0)=0$，$f'(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}$，$l_1$ 为点 $A(a,f(a))$（$a\ne0$）处切线.

(1) $f'(x)$ 的最大值； (2) 证明：当 $-1<a<0$ 时，除点 $A$ 外曲线 $y=f(x)$ 在 $l_1$ 上方； (3) 若 $a>0$ 时，过 $A$ 且与 $l_1$ 垂直的 $l_2$ 与 $l_1$ 分别交 $x$ 轴于 $x_1$，$x_2$，求 $\dfrac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1}$ 的范围.

设 $M=\{(x_i,y_i)\mid x_i,y_i\in A\}$，$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. 从 $M$ 中选 $n$ 个有序数对构成一列 $(x_1,y_1)$，$\dots$，$(x_n,y_n)$. 若相邻两项满足 $|x_{i+1}-x_i|=3\text{\ 或\ }4$，$|y_{i+1}-y_i|=4\text{\ 或\ }3$，$i=1$，$\dots$，$n-1$，则该列称为 $k$ 列.

(1) 若 $k$ 列的第一项为 $(3,3)$，求第二项. (2) 若 $\tau$ 为 $k$ 列，且 $i$ 为奇数时 $x_i\in\{1,2,7,8\}$，$i$ 为偶数时 $x_i\in\{3,4,5,6\}$，判断 $(3,2)$ 与 $(4,4)$ 能否同时在 $\tau$ 中，并说明. (3) 证明 $M$ 中所有元素都不构成 $k$ 列.