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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣0<x<4}M=\{x\mid 0<x<4\}，N={x∣13≤x≤5}N=\{x\mid \frac{1}{3}\le x\le 5\}，则 M∩N=M\cap N=（ ）
A.
{x∣0<x≤13}\left\{x\mid 0<x\le \frac{1}{3}\right\}
B.
{x∣13≤x<4}\left\{x\mid \frac{1}{3}\le x<4\right\}
C.
{x∣4≤x<5}\{x\mid 4\le x<5\}
D.
{x∣0<x≤5}\{x\mid 0<x\le 5\}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★★☆☆☆
为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将该地农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A.
该地农户家庭年收入低于 4.5 万元4.5\text{ 万元} 的农户比率估计为 6%6\%
B.
该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元10.5\text{ 万元} 的农户比率估计为 10%10\%
C.
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.56.5 万元
D.
估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元4.5\text{ 万元} 至 8.5 万元8.5\text{ 万元} 之间

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
已知 (1−i)2z=3+2i\left(1-\mathrm{i}\right)^2z=3+2\mathrm{i}，则 z=z=（ ）
A.
−1−32i-1-\frac{3}{2}\mathrm{i}
B.
−1+32i-1+\frac{3}{2}\mathrm{i}
C.
−32+i-\frac{3}{2}+\mathrm{i}
D.
−32−i-\frac{3}{2}-\mathrm{i}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 LL 和小数记录法的数据 VV 满足 L=5+lg⁡VL=5+\lg V. 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.94.9，则其视力的小数记录法的数据约为（1010≈1.259\sqrt[10]{10}\approx 1.259）（ ）
A.
1.51.5
B.
1.21.2
C.
0.80.8
D.
0.60.6

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是双曲线 CC 的两个焦点，PP 为 CC 上一点，且 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2=60^\circ，PF1=3PF2PF_1=3PF_2，则 CC 的离心率为（ ）
A.
72\dfrac{\sqrt{7}}{2}
B.
132\dfrac{\sqrt{13}}{2}
C.
7\sqrt{7}
D.
13\sqrt{13}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
在一个正方体中，过顶点 AA 的三条棱的中点分别为 EE，FF，GG. 该正方体截去三棱锥 A−EFGA-EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.
B.
C.
D.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，设甲：q>0q>0，乙：{Sn}\{S_n\} 是递增数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.868848.86（单位：m\mathrm{m}），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 AA，BB，CC 三点，且 AA，BB，CC 在同一水平面上的投影 A′A'，B′B'，C′C' 满足 ∠A′C′B′=45∘\angle A'C'B'=45^\circ，∠A′B′C′=60∘\angle A'B'C'=60^\circ. 由 CC 点测得 BB 点的仰角为 15∘15^\circ，BB′BB' 与 CC′CC' 的差为 100100；由 BB 点测得 AA 点的仰角为 45∘45^\circ，则 AA，CC 两点到水平面 A′B′C′A'B'C' 的高度差 AA′−CC′AA'-CC' 约为（3≈1.732\sqrt{3}\approx 1.732）（ ）
A.
346346
B.
373373
C.
446446
D.
473473

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，tan⁡2α=cos⁡α2−sin⁡α\tan 2\alpha=\dfrac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}，则 tan⁡α=\tan \alpha=（ ）
A.
1515\dfrac{\sqrt{15}}{15}
B.
55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
C.
53\dfrac{\sqrt{5}}{3}
D.
153\dfrac{\sqrt{15}}{3}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
将 44 个 11 和 22 个 00 随机排成一行，则 22 个 00 不相邻的概率为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
25\frac{2}{5}
C.
23\frac{2}{3}
D.
45\frac{4}{5}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★☆☆☆
已知 AA，BB，CC 是半径为 11 的球 OO 的球面上的三个点，且 AC⊥BCAC\perp BC，AC=BC=1AC=BC=1，则三棱锥 O−ABCO-ABC 的体积为（ ）
A.
212\dfrac{\sqrt{2}}{12}
B.
312\dfrac{\sqrt{3}}{12}
C.
24\dfrac{\sqrt{2}}{4}
D.
34\dfrac{\sqrt{3}}{4}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+1)f(x+1) 为奇函数，f(x+2)f(x+2) 为偶函数，当 x∈[1,2]x\in [1,2] 时，f(x)=ax2+bf(x)=ax^2+b. 若 f(0)+f(3)=6f(0)+f(3)=6，则 f(92)=f\left( \frac{9}{2} \right)=（ ）
A.
−94-\dfrac{9}{4}
B.
−32-\dfrac{3}{2}
C.
74\dfrac{7}{4}
D.
52\dfrac{5}{2}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=2x−1x+2y=\dfrac{2x-1}{x+2} 在点 (−1,−3)(-1,-3) 处的切线方程为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a}=(3,1)，b=(1,0)\boldsymbol{b}=(1,0)，c=a+kb\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}. 若 a⊥c\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 PQ=F1F2PQ=F_1F_2，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(ωx+φ)f(x)=2\cos (\omega x+\varphi) 的部分图像如图所示，则满足条件 (f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0\left( f(x)-f\left( -\frac{7\pi}{4} \right) \right)\allowbreak\left( f(x)-f\left( \frac{4\pi}{3} \right) \right)>0 的最小正整数 xx 为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
乙机床12080200
合计270130400
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 证明：BF⊥DEBF\perp DE； (2) 当 B1DB_1D 为何值时，面 BB1C1CBB_1C_1C 与面 DEFDEF 所成的二面角的正弦值最小？

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的顶点为坐标原点 OO，焦点在 xx 轴上，直线 l:x=1l:x=1 交 CC 于 PP，QQ 两点，且 OP⊥OQOP\perp OQ. 已知点 M(2,0)M(2,0)，且 ⊙M\odot M 与 ll 相切.
(1) 求 CC，⊙M\odot M 的方程； (2) 设 A1A_1，A2A_2，A3A_3 是 CC 上的三个点，直线 A1A2A_1A_2，A1A3A_1A_3 均与 ⊙M\odot M 相切. 判断直线 A2A3A_2A_3 与 ⊙M\odot M 的位置关系，并说明理由.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne 1，函数 f(x)=xaaxf(x)=\dfrac{x^a}{a^x}（x>0x>0）.
(1) 当 a=2a=2 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=1y=1 有且仅有两个交点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos \theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={1,3,5,7,9}M=\{1,3,5,7,9\}，N={x∣2x>7}N=\{x\mid 2x>7\}，则 M∩N=M\cap N=（ ）
A.
{7,9}\{7,9\}
B.
{5,7,9}\{5,7,9\}
C.
{3,5,7,9}\{3,5,7,9\}
D.
{1,3,5,7,9}\{1,3,5,7,9\}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★★☆☆☆
为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A.
该地农户家庭年收入低于 4.54.5 万元的农户比率估计为 6%6\%
B.
该地农户家庭年收入不低于 10.510.5 万元的农户比率估计为 10%10\%
C.
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.56.5 万元
D.
估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.54.5 万元至 8.58.5 万元之间

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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