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16三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(2x+π6)f(x)=\sin \left( 2x+\frac{\pi}{6} \right).
(1) 求最小正周期； (2) 若 x∈[−π6,π12]x\in \left[ -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{12} \right]，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值； (3) 若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，sin⁡α=33\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}，求 f(α)f(\alpha).

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17立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=3AA_1=3，AD=4AD=4，A1E=3ED1A_1E=3ED_1，2C1F=FC2C_1F=FC.
(1) 求证：BD⊥面CEFBD\perp \text{面} CEF； (2) 求面 AEFAEF 与面 CEFCEF 的夹角的余弦值； (3) 求三棱锥 A−CEFA-CEF 的体积.

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx=b 截得的线段长为 3\sqrt{3}.
(1) 求 CC 的标准方程； (2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)（y1<y2y_1<y_2），AA 是椭圆的上顶点. 记直线 APAP，AQAQ 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}.

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19数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，a2=b1+b2a_2=b_1+b_2，a4=b3−b1a_4=b_3-b_1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 En={x∈R∣x≤n, ∃k∈N∗, x=ak 或 x=bk}E_n=\left\{ x\in \mathbf{R}\mid x\le n,\ \exists k\in \mathbf{N}^*,\ x=a_k\text{\ 或\ }x=b_k \right\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数.
(i) 求 c3nc_{3^n}； (ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m\cdot a_m\cdot c_m.

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 当 x∈[−13,+∞)x\in \left[ -\frac{1}{3},+\infty \right) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x)\ge 1+\frac{x}{3}； (3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af\left( \frac{1}{1} \right)\cdot f\left( \frac{1}{2} \right)\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)\cdots f\left( \frac{1}{n} \right)\ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n\in \mathbf{N}^* 都成立.

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡B=3 bcos⁡Aa\sin B=\sqrt3\,b\cos A，c−2b=1c-2b=1，a=7a=\sqrt7.
(1) 求 AA； (2) 求 cc； (3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A+2B).

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17立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 4，EE，FF 分别为 A1D1A_1D_1，C1B1C_1B_1 中点，且 CG=3GC1CG=3GC_1.
(1) 求证：GF⊥GF\perp 平面 FBEFBE； (2) 求平面 FBEFBE 与平面 EBGEBG 的夹角余弦； (3) 求四面体 D−FBED-FBE 的体积.

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=2a_1=b_1=2，a2=b2+1a_2=b_2+1，a3=b3a_3=b_3.
(1) 求 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项； (2) ∀n∈N∗\forall n\in\mathbf{N}^*，I={0,1}I=\{0,1\}，定义 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣pi∈I,i=1,…,n}T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}.
(i) 求证：对任意 t∈Tnt\in T_n，有 t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}； (ii) 求 TnT_n 的所有元素之和.

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x)=ax-(\ln x)^2.
(1) 当 a=1a=1 时，求 f(x)f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 当 f(x)f(x) 有三个零点 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3 时，
(i) 求 aa 的取值范围； (ii) 证明 (ln⁡x2−ln⁡x1)⋅ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}.

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡B=916\cos B=\frac{9}{16}，b=5b=5，ac=23\frac{a}{c}=\frac23.
(1) 求 aa； (2) 求 sin⁡A\sin A； (3) 求 cos⁡(B−2A)\cos(B-2A) 的值.

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 为梯形，AB∥CDAB\parallel CD，A1A⊥A_1A\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥ABAD\perp AB，其中 AB=A1A=2AB=A_1A=2，AD=DC=1AD=DC=1. NN 是 B1C1B_1C_1 的中点，MM 是 DD1DD_1 的中点.
(1) 求证：D1N∥D_1N\parallel 平面 CB1MCB_1M； (2) 求平面 CB1MCB_1M 与平面 BB1CC1BB_1CC_1 的夹角余弦值； (3) 求点 BB 到平面 CB1MCB_1M 的距离.

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

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19数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 是公比大于 0 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_n. 若 a1=1a_1=1，S2=a3−1S_2=a_3-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n； (2) 设 bn=kb_n=k（n=akn=a_k），bn=bn−1+2kb_n=b_{n-1}+2k（ak<n<ak+1a_k<n<a_{k+1}），其中 k∈N∗k\in \mathbb N^*.
(i) 当 k≥2k\ge 2，n=ak+1n=a_{k+1} 时，求证：bn−1≥akbnb_{n-1}\ge a_k b_n； (ii) 求 ∑i=1Snbi\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i.

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x.
(1) 求 f(x)f(x) 图象上点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)≥a(x−x)f(x)\ge a(x-\sqrt{x}) 在 x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty) 时恒成立，求 aa 的值； (3) 若 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，证明 ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣x1−x2∣12|f(x_1)-f(x_2)|\le |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}.

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 a=39a=\sqrt{39}，b=2b=2，∠A=120∘\angle A=120^\circ.
(1) 求 sin⁡B\sin B 的值； (2) 求 cc 的值； (3) 求 sin⁡(B−C)\sin(B-C).

2023 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，若 A1A⊥面 ABCA_1A\perp \text{面 }ABC，AB⊥ACAB\perp AC，AB=AC=A1A=2AB=AC=A_1A=2，A1C1=1A_1C_1=1，MM，NN 分别是 BCBC，BABA 中点.
(1) 求证：A1N∥平面 C1MAA_1N\parallel \text{平面 }C_1MA； (2) 求平面 C1MAC_1MA 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成夹角的余弦值； (3) 求点 CC 到平面 C1MAC_1MA 的距离.

2023 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，a2+a5=16a_2+a_5=16，a5−a3=4a_5-a_3=4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式和 ∑i=2n−12n−1ai\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i； (2) 已知 {bn}\{b_n\} 为等比数列，对于任意 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*，若 2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^k-1，则 bk<an<bk+1b_k<a_n<b_{k+1}.
(i) 当 k≥2k\ge 2 时，求证：2k−1<bk<2k+12^k-1<b_k<2^k+1； (ii) 求 {bn}\{b_n\} 的通项公式及其前 nn 项和.

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x)=\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right)\ln(x+1).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处切线的斜率； (2) 当 x>0x>0 时，证明：f(x)>1f(x)>1； (3) 证明： 56<ln⁡(n!)−(n+12)ln⁡n+n≤1\frac{5}{6}<\ln(n!)-\left( n+\frac{1}{2} \right)\ln n+n\le 1

2023 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=6a=\sqrt{6}，b=2cb=2c，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}.
(1) 求 cc 的值； (2) 求 sin⁡B\sin B 的值； (3) 求 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2022 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AC⊥ABAC\perp AB，点 DD，EE，FF 分别为 A1B1A_1B_1，AA1AA_1，CDCD 的中点，AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) 求直线 BEBE 与平面 CC1DCC_1D 所成角的正弦值； (3) 求平面 A1CDA_1CD 与平面 CC1DCC_1D 所成二面角的余弦值.

2022 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

2022 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，函数 f(x)=ex−asin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-a\sin x，g(x)=bxg(x)=b\sqrt{x}.
(1) 求函数 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 有公共点，
(i) 当 a=0a=0 时，求 bb 的取值范围； (ii) 求证：a2+b2>ea^2+b^2>\mathrm{e}.

2022 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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