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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=2:1:2\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt2，b=2b=\sqrt2.
(1) 求 aa 的值； (2) 求 cos⁡C\cos C 的值； (3) 求 sin⁡(2C−π6)\sin\left( 2C-\dfrac{\pi}{6} \right) 的值.

2021 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为棱 BCBC 的中点，FF 为棱 CDCD 的中点.
(1) 求证：D1F∥D_1F\parallel 平面 A1EC1A_1EC_1； (2) 求直线 AC1AC_1 与平面 A1EC1A_1EC_1 所成角的正弦值； (3) 求二面角 A−A1C1−EA-A_1C_1-E 的正弦值.

2021 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，上顶点为 BB，离心率为 255\dfrac{2\sqrt5}{5}，且 ∣BF∣=5|BF|=\sqrt5.
(1) 求椭圆的方程； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一的公共点 MM，与 yy 轴的正半轴交于点 NN，过 NN 与 BFBF 垂直的直线交 xx 轴于点 PP. 若 MP∥BFMP\parallel BF，求直线 ll 的方程.

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19数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列，其前 88 项和为 6464. {bn}\{b_n\} 是公比大于 00 的等比数列，b1=4b_1=4，b3−b2=48b_3-b_2=48.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n+1bnc_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，
(i) 证明 {cn2−c2n}\{c_n^2-c_{2n}\} 是等比数列； (ii) 证明 ∑k=1nakak+1ck2−c2k<22\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

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20导数及其应用★★★★★
已知 a>0a>0，函数 f(x)=ax−xexf(x)=ax-x\mathrm{e}^x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 证明 f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (3) 若存在 aa，使得 f(x)≤a+bf(x)\le a+b 对任意 x∈Rx\in \mathbf{R} 成立，求实数 bb 的取值范围.

2021 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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