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015分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣1≤x≤3}A=\{x\mid 1\le x\le 3\}，B={x∣2<x<4}B=\{x\mid 2<x<4\}，则 A∪BA\cup B 等于（ ）
A.
{x∣2<x≤3}\{x\mid 2<x\le 3\}
B.
{x∣2≤x≤3}\{x\mid 2\le x\le 3\}
C.
{x∣1≤x<4}\{x\mid 1\le x<4\}
D.
{x∣1<x<4}\{x\mid 1<x<4\}

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 1 题 · 选择题

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025分复数★☆☆☆☆
2−i1+2i\dfrac{2-\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} 等于（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 2 题 · 选择题

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035分计数原理与组合数学★★☆☆☆
66 名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 11 个场馆，甲场馆安排 11 名，乙场馆安排 22 名，丙场馆安排 33 名，则不同的安排方法共有（ ）
A.
120120 种
B.
9090 种
C.
6060 种
D.
3030 种

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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045分立体几何初步★★★☆☆
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球（球心记为 OO），地球上一点 AA 的纬度是指 OAOA 与地球赤道所在平面所成角，点 AA 处的水平面是指过点 AA 且与 OAOA 垂直的平面. 在点 AA 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 AA 处的纬度为北纬 40∘40^\circ，则晷针与点 AA 处的水平面所成角为（ ）
A.
20∘20^\circ
B.
40∘40^\circ
C.
50∘50^\circ
D.
90∘90^\circ

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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055分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%96\% 的学生喜欢足球或游泳，60%60\% 的学生喜欢足球，82%82\% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A.
62%
B.
56%
C.
46%
D.
42%

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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065分函数与初等函数★★☆☆☆
基本再生数 R0R_0 与世代间隔 TT 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ertI(t)=\mathrm{e}^{rt} 描述累计感染病例数 I(t)I(t) 随时间 tt（单位：天）的变化规律，指数增长率 rr 与 R0R_0，TT 近似满足 R0=1+rTR_0=1+rT. 有学者基于已有数据估计出 R0=3.28R_0=3.28，T=6T=6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ln⁡2≈0.69\ln 2\approx 0.69）（ ）
A.
1.21.2 天
B.
1.81.8 天
C.
2.52.5 天
D.
3.53.5 天

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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075分平面向量★★★☆☆
已知 PP 是边长为 2 的正六边形 ABCDEFABCDEF 内的一点，则 AP→⋅AB→\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} 的取值范围是（ ）
A.
(−2,6)\left( -2,6 \right)
B.
(−6,2)\left( -6,2 \right)
C.
(−2,4)\left( -2,4 \right)
D.
(−4,6)\left( -4,6 \right)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数 f(x)f(x) 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上单调递减，且 f(2)=0f(2)=0，则满足 xf(x−1)≥0xf(x-1)\ge 0 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
[−1,1]∪[3,+∞)[ -1,1]\cup[3,+\infty)
B.
[−3,−1]∪[0,1][ -3,-1]\cup[0,1]
C.
[−1,0]∪[1,+∞)[ -1,0]\cup[1,+\infty)
D.
[−1,0]∪[1,3][ -1,0]\cup[1,3]

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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096分解析几何★★☆☆☆
已知曲线 C:mx2+ny2=1C:mx^2+ny^2=1. （ ）
A.
若 m>n>0m>n>0，则 CC 是椭圆，其焦点在 yy 轴上
B.
若 m=n>0m=n>0，则 CC 是圆，其半径为 n\sqrt{n}
C.
若 mn<0mn<0，则 CC 是双曲线，其渐近线方程为 y=±−mnxy=\pm\sqrt{-\dfrac{m}{n}}x
D.
若 m=0m=0，n>0n>0，则 CC 是两条直线

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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106分三角函数★★★☆☆
如图是函数 y=sin⁡(ωx+φ)y=\sin(\omega x+\varphi) 的部分图象，则 sin⁡(ωx+φ)\sin(\omega x+\varphi) 等于（ ）
A.
sin⁡(x+π3)\sin\left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)
B.
sin⁡(π3−2x)\sin\left( \dfrac{\pi}{3}-2x \right)
C.
cos⁡(2x+π6)\cos\left( 2x+\dfrac{\pi}{6} \right)
D.
cos⁡(5π6−2x)\cos\left( \dfrac{5\pi}{6}-2x \right)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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116分不等式★★★☆☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，且 a+b=1a+b=1，则（ ）
A.
a2+b2≥12a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}
B.
2a−b>122^{a-b}>\dfrac{1}{2}
C.
log⁡2a+log⁡2b≥−2\log_2 a+\log_2 b\ge -2
D.
a+b≤2\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2}

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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126分概率与统计★★★★☆
信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 XX 所有可能的取值为 11，22，⋯\cdots，nn，且 P(X=i)=pi>0P(X=i)=p_i>0（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），∑i=1npi=1\sum_{i=1}^{n}p_i=1，定义 XX 的信息熵 H(X)=−∑i=1npilog⁡2piH(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\log_2 p_i. （ ）
A.
若 n=1n=1，则 H(X)=0H(X)=0
B.
若 n=2n=2，则 H(X)H(X) 随着 p1p_1 的增大而增大
C.
若 pi=1np_i=\dfrac{1}{n}（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），则 H(X)H(X) 随着 nn 的增大而增大
D.
若 n=2mn=2m，随机变量 YY 所有可能的取值为 11，22，⋯\cdots，mm，且 P(Y=j)=pj+p2m+1−jP(Y=j)=p_j+p_{2m+1-j}（j=1j=1，22，⋯\cdots，mm），则 H(X)≤H(Y)H(X)\le H(Y)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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135分解析几何★★★☆☆
斜率为 3\sqrt{3} 的直线过抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点，且与 CC 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分数列★★★☆☆
将数列 {2n−1}\{2n-1\} 与 {3n−2}\{3n-2\} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}\{a_n\}，则 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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155分三角函数★★★★☆
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. OO 为圆孔及轮廓圆弧 ABAB 所在圆的圆心，AA 是圆弧 ABAB 与直线 AGAG 的切点，BB 是圆弧 ABAB 与直线 BCBC 的切点，四边形 DEFGDEFG 为矩形，BC⊥DGBC\perp DG，垂足为 CC，tan⁡∠ODC=35\tan\angle ODC=\dfrac{3}{5}，BH∥DGBH\parallel DG，EF=12 cmEF=12 \mathrm{~cm}，DE=2 cmDE=2 \mathrm{~cm}，AA 到直线 DEDE 和 EFEF 的距离均为 7 cm7 \mathrm{~cm}，圆孔半径为 1 cm1 \mathrm{~cm}，则图中阴影部分的面积为______\ cm2\mathrm{cm}^2.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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165分立体几何初步★★★★☆
已知直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长均为 2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. 以 D1D_1 为球心，5\sqrt{5} 为半径的球面与侧面 BCC1B1BCC_1B_1 的交线长为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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1715分三角函数★★☆☆☆
在条件
① ac=3ac=\sqrt{3}， ② csin⁡A=3c\sin A=3， ③ c=3bc=\sqrt{3}b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 cc 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 △ABC\triangle ABC，它的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡A=3sin⁡B\sin A=\sqrt{3}\sin B，C=π6C=\dfrac{\pi}{6}，______？

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 1 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 bmb_m 为 {an}\{a_n\} 在区间 (0,m](0,m]（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*）中的项的个数，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 100 项和 S100S_{100}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100100 天空气中的 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 和 SO2\mathrm{SO}_2 浓度（单位：μg/m3\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3），得下表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,50][0,50](50,150](50,150](150,475](150,475]
(35,75](35,75]6812
(75,115](75,115]3710
(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度不超过 75，且 SO2\mathrm{SO}_2 浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,150][0,150](150,475](150,475]
(75,115](75,115]
(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度与 SO2\mathrm{SO}_2 浓度有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面为正方形，PD⊥PD\perp底面 ABCDABCD. 设平面 PADPAD 与平面 PBCPBC 的交线为 ll.
(1) 证明：l⊥l\perp平面 PDCPDC； (2) 已知 PD=AD=1PD=AD=1，QQ 为 ll 上的点，求 PBPB 与平面 QCDQCD 所成角的正弦值的最大值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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2115分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))\left( 1,f(1) \right) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)≥1f(x)\ge 1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，且过点 A(2,1)A\left( 2,1 \right).
(1) 求 CC 的方程； (2) 点 MM，NN 在 CC 上，且 AM⊥ANAM\perp AN，AD⊥MNAD\perp MN，DD 为垂足. 证明：存在定点 QQ，使得 ∣DQ∣|DQ| 为定值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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