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01复数★☆☆☆☆
设 2(z+zˉ)+3(z−zˉ)=4+6i2(z+\bar z)+3(z-\bar z)=4+6\mathrm{i}，则 z=z=（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
1−2i1-2\mathrm{i}
B.
1+2i1+2\mathrm{i}
C.
1+i1+\mathrm{i}
D.
1−i1-\mathrm{i}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 S={s∣s=2n+1,n∈Z}S=\{s\mid s=2n+1,n\in\mathbf{Z}\}，T={t∣t=4n+1,n∈Z}T=\{t\mid t=4n+1,n\in\mathbf{Z}\}，则 S∩T=S\cap T=（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
∅\varnothing
B.
SS
C.
TT
D.
Z\mathbf{Z}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知命题 p:∃x∈Rp:\exists x\in \mathbf{R}，sin⁡x<1\sin x<1；命题 q:∀x∈Rq:\forall x\in \mathbf{R}，e∣x∣≥1\mathrm{e}^{|x|}\ge 1，则下列命题中为真命题的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
p∧qp\wedge q
B.
¬p∧q\neg p\wedge q
C.
p∧¬qp\wedge \neg q
D.
¬(p∨q)\neg\left( p\vee q \right)

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=1−x1+xf(x)=\frac{1-x}{1+x}，则下列函数中为奇函数的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
f(x−1)−1f(x-1)-1
B.
f(x−1)+1f(x-1)+1
C.
f(x+1)−1f(x+1)-1
D.
f(x+1)+1f(x+1)+1

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为 B1D1B_1D_1 的中点，则直线 PBPB 与 AD1AD_1 所成的角为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
将 55 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶 44 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 11 个项目，每个项目至少分配 11 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
6060 种
B.
120120 种
C.
240240 种
D.
480480 种

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
把函数 y=f(x)y=f(x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度，得到函数 y=sin⁡(x−π4)y=\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right) 的图像，则 f(x)=f(x)=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
sin⁡(−x2−7π12)\sin\left( -\frac{x}{2}-\frac{7\pi}{12} \right)
B.
sin⁡(x2+π12)\sin\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right)
C.
sin⁡(2x−7π12)\sin\left( 2x-\frac{7\pi}{12} \right)
D.
sin⁡(2x+π12)\sin\left( 2x+\frac{\pi}{12} \right)

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
在区间 (0,1)(0,1) 与 (1,2)(1,2) 中各随机取 11 个数，则两数之和大于 74\frac{7}{4} 的概率为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
79\frac{7}{9}
B.
2332\frac{23}{32}
C.
932\frac{9}{32}
D.
29\frac{2}{9}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作. 其中第一题是测量海岛的高.
如图，点 EE，HH，GG 在水平线 ACAC 上，DEDE 和 FGFG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EGEG 称为“表距”，GCGC 和 EHEH 都称为“表目距”. GCGC 与 EHEH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 AB=AB=（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
表高×表距表目距的差+表高\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表高}
B.
表高×表距表目距的差−表高\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表高}
C.
表高×表距表目距的差+表距\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表距}
D.
表高×表距表目距的差−表距\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表距}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
设 a≠0a\ne 0，若 x=ax=a 为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a(x-a)^2(x-b) 的极大值点，则（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
设 BB 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的上顶点，若 CC 上的任意一点 PP 都满足 ∣PB∣≤2b|PB|\le 2b，则 CC 的离心率的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[22,1)\left[ \frac{\sqrt2}{2},1 \right)
B.
[12,1)\left[ \frac{1}{2},1 \right)
C.
(0,22]\left( 0,\frac{\sqrt2}{2} \right]
D.
(0,12]\left( 0,\frac{1}{2} \right]

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=2ln⁡1.01a=2\ln 1.01，b=ln⁡1.02b=\ln 1.02，c=1.04−1c=\sqrt{1.04}-1，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<c<ab<c<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
c<a<bc<a<b

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2m−y2=1C:\frac{x^2}{m}-y^2=1（m>0m>0）的一条渐近线为 3x+my=0\sqrt3 x+my=0，则 CC 的焦距为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a}=(1,3)，b=(3,4)\boldsymbol{b}=(3,4)，若 (a−λb)⊥b(\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，面积为 3\sqrt3，B=60∘B=60^\circ，a2+c2=3aca^2+c^2=3ac，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图 \circled1\circled{1} 为正视图，在图 \circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5} 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xx 和 yy，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xx，yy，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y−x(s12+s22)10≥2\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，PD=DC=1PD=DC=1，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 求 BCBC； (2) 求二面角 A−PM−BA-PM-B 的正弦值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:x2=2pyC:x^2=2py（p>0p>0）的焦点为 FF，且 FF 与圆 M:x2+(y+4)2=1M:x^2+(y+4)^2=1 上点的距离的最小值为 44.
(1) 求 pp； (2) 若点 PP 在 MM 上，PAPA，PBPB 是 CC 的两条切线，AA，BB 是切点，求 △PAB\triangle PAB 面积的最大值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的圆心为 C(2,1)C(2,1)，半径为 11.
(1) 写出圆 CC 的一个参数方程； (2) 过点 F(4,1)F(4,1) 作圆 CC 的两条切线. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge 6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5}U=\{1,2,3,4,5\}，集合 M={1,2}M=\{1,2\}，N={3,4}N=\{3,4\}，则 CU(M∪N)=C_U\left(M\cup N\right)=（ ）
A.
{5}\{5\}
B.
{1,2}\{1,2\}
C.
{3,4}\{3,4\}
D.
{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设 iz=4+3i\mathrm{i} z=4+3\mathrm{i}，则 z=z=（ ）
A.
−3−4i-3-4\mathrm{i}
B.
−3+4i-3+4\mathrm{i}
C.
3−4i3-4\mathrm{i}
D.
3+4i3+4\mathrm{i}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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