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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 a=3ca=3c，b=2b=\sqrt2，cos⁡B=23\cos B=\dfrac23，求 cc 的值； (2) 若 sin⁡Aa=cos⁡B2b\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}，求 sin⁡(B+π2)\sin\left(B+\dfrac{\pi}{2}\right) 的值.

2019 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD，EE 分别为 BCBC，ACAC 的中点，AB=BCAB=BC.
求证：
(1) A1B1∥A_1B_1\parallel 平面 DEC1DEC_1； (2) BE⊥C1EBE\perp C_1E.

2019 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0). 过 F2F_2 作 xx 轴的垂线 ll，在 xx 轴的上方，ll 与圆 F2F_2：(x−1)2+y2=4a2(x-1)^2+y^2=4a^2 交于点 AA，与椭圆 CC 交于点 DD. 连结 AF1AF_1 并延长交圆 F2F_2 于点 BB，连结 BF2BF_2 交椭圆 CC 于点 EE，连结 DF1DF_1. 已知 DF1=52DF_1=\dfrac52.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 求点 EE 的坐标.

2019 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★★
如图，一个湖的边界是圆心为 OO 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ll，湖上有桥 ABAB（ABAB 是圆 OO 的直径）. 规划在公路 ll 上选两个点 PP，QQ，并修建两段直线型道路 PBPB，QAQA. 规划要求：线段 PBPB，QAQA 上的所有点到点 OO 的距离均不小于圆 OO 的半径. 已知点 AA，BB 到直线 ll 的距离分别为 ACAC 和 BDBD（CC，DD 为垂足），测得 AB=10AB=10，AC=6AC=6，BD=12BD=12（单位：百米）.
(1) 若道路 PBPB 与桥 ABAB 垂直，求道路 PBPB 的长； (2) 在规划要求下，PP 和 QQ 中能否有一个点选在 DD 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 PBPB 和 QAQA 的长度均为 dd（单位：百米），求当 dd 最小时，PP，QQ 两点间的距离.

2019 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 若 a=b=ca=b=c，f(4)=8f(4)=8，求 aa 的值； (2) 若 a≠ba\ne b，b=cb=c，且 f(x)f(x) 和 f′(x)f'(x) 的零点均在集合 {−3,1,3}\{-3,1,3\} 中，求 f(x)f(x) 的极小值； (3) 若 a=0a=0，0<b≤10<b\le 1，c=1c=1，且 f(x)f(x) 的极大值为 MM，求证：M≤427M\le\dfrac4{27}.

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20数列★★★★★
定义首项为 11 且公比为正数的等比数列为“MM－数列”.
(1) 已知等比数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）满足：a2a4=a5a_2a_4=a_5，a3−4a2+4a1=0a_3-4a_2+4a_1=0，求证：数列 {an}\{a_n\} 为“MM－数列”； (2) 已知数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，1Sn=2bn−2bn+1\dfrac1{S_n}=\dfrac2{b_n}-\dfrac2{b_{n+1}}，其中 SnS_n 为数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(i) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (ii) 设 mm 为正整数，若存在“MM－数列”{cn}\{c_n\}，对任意正整数 kk，当 k≤mk\le m 时，都有 ck≤bk≤ck+1c_k\le b_k\le c_{k+1} 成立，求 mm 的最大值.

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=(3122)A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 A2A^2； (2) 求矩阵 AA 的特征值.

2019 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知两点 A ⁣(3,π4)A\!\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right)，B ⁣(2,π2)B\!\left(\sqrt2,\dfrac{\pi}{2}\right)，直线 ll 的方程为 ρsin⁡(θ+π4)=3\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3.
(1) 求 AA，BB 两点间的距离； (2) 求点 BB 到直线 ll 的距离.

2019 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 ∣x∣+∣2x−1∣>2|x|+|2x-1|>2.

2019 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
设 (1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，其中 n≥4n\ge 4，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 已知 a32=2a2a4a_3^2=2a_2a_4.
(1) 求 nn 的值； (2) 设 (1+3)n=a+b3(1+\sqrt3)^n=a+b\sqrt3，其中 aa，b∈N∗b\in\mathbf{N}^*，求 a2−3b2a^2-3b^2 的值.

2019 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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