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15立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB⊥ACAB\perp AC，B1C⊥B_1C\perp 平面 ABCABC，EE，FF 分别是 ACAC，B1CB_1C 的中点.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 AB1C1AB_1C_1； (2) 求证：平面 AB1C⊥AB_1C\perp 平面 ABB1ABB_1.

2020 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 a=3a=3，c=2c=\sqrt2，B=45∘B=45^\circ.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 在边 BCBC 上取一点 DD，使得 cos⁡∠ADC=−45\cos\angle ADC=-\dfrac45，求 tan⁡∠DAC\tan\angle DAC 的值.

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

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18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 E:x24+y23=1E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，点 AA 在椭圆 EE 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2AF_2\perp F_1F_2，直线 AF1AF_1 与椭圆 EE 相交于另一点 BB.
(1) 求 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的周长； (2) 在 xx 轴上任取一点 PP，直线 APAP 与椭圆 EE 的右准线相交于点 QQ，求 OP→⋅QP→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP} 的最小值； (3) 设点 MM 在椭圆 EE 上，记 △OAB\triangle OAB 与 △MAB\triangle MAB 的面积分别为 S1S_1，S2S_2，若 S2=3S1S_2=3S_1，求点 MM 的坐标.

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和为 SnS_n. 设 λ\lambda 与 kk 是常数，若对一切正整数 nn，均有 Sn+11k−Sn1k=λan+11kS_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}} 成立，则称此数列为“λ∼k\lambda\sim k”数列.
(1) 若等差数列 {an}\{a_n\} 是“λ∼1\lambda\sim1”数列，求 λ\lambda 的值； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是“33∼2\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2”数列，且 an>0a_n>0，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 对于给定的 λ\lambda，是否存在三个不同的数列 {an}\{a_n\} 为“λ∼3\lambda\sim3”数列，且 an≥0a_n\ge0？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2020 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 2∣x+1∣+∣x∣<42\lvert x+1\rvert+\lvert x\rvert<4.

2020 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知点 A ⁣(ρ1,π3)A\!\left(\rho_1,\dfrac\pi3\right) 在直线 l:ρcos⁡θ=2l:\rho\cos\theta=2 上，点 B ⁣(ρ2,π6)B\!\left(\rho_2,\dfrac\pi6\right) 在圆 C:ρ=4sin⁡θC:\rho=4\sin\theta 上（其中 ρ≥0\rho\ge0，0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）.
(1) 求 ρ1\rho_1，ρ2\rho_2 的值； (2) 求出直线 ll 与圆 CC 的公共点的极坐标.

2020 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
平面上点 A(2,−1)A(2,-1) 在矩阵
M=[a1−1b]M=\begin{bmatrix}a&1\\-1&b\end{bmatrix}
对应的变换作用下得到点 B(3,−4)B(3,-4).
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}.

2020 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，已知 CB=CD=5CB=CD=\sqrt5，BD=2BD=2，OO 为 BDBD 的中点，AO⊥AO\perp 平面 BCDBCD，AO=2AO=2，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 求直线 ABAB 与 DEDE 所成角的余弦值； (2) 若点 FF 在 BCBC 上，满足 BF=14BCBF=\dfrac14BC，设二面角 F−DE−CF-DE-C 的大小为 θ\theta，求 sin⁡θ\sin\theta 的值.

2020 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★★
甲口袋中装有 22 个黑球和 11 个白球，乙口袋中装有 33 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 nn 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 XnX_n，恰有 22 个黑球的概率为 pnp_n，恰有 11 个黑球的概率为 qnq_n.
(1) 求 p1⋅q1p_1\cdot q_1 和 p2⋅q2p_2\cdot q_2； (2) 求 2pn+qn2p_n+q_n 与 2pn−1+qn−12p_{n-1}+q_{n-1} 的递推关系式和 XnX_n 的数学期望 E(Xn)E(X_n)（用 nn 表示）.

2020 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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