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18三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2bsin⁡A=3 a2b\sin A=\sqrt3\,a.
(1) 求角 BB； (2) 求 cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C\cos A+\cos B+\cos C 的取值范围.

2020 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱台 DEF−ABCDEF-ABC 中，面 ADFC⊥ADFC\perp 面 ABCABC，∠ACB=∠ACD=45∘\angle ACB=\angle ACD=45^\circ，DC=2BCDC=2BC.
(1) 证明：EF⊥DBEF\perp DB； (2) 求 DFDF 与面 DBCDBC 所成角的正弦值.

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 中，a1=b1=c1=1a_1=b_1=c_1=1，cn+1=an+1−anc_{n+1}=a_{n+1}-a_n，cn+1=bnbn+2 cnc_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}\,c_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等比数列，且公比 q>0q>0，且 b1+b2=6b3b_1+b_2=6b_3，求 qq 与 ana_n 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且公差 d>0d>0，证明：c1+c2+⋯+cn<1+1dc_1+c_2+\cdots+c_n<1+\dfrac1d，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

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22导数及其应用★★★★★
已知 1<a≤21<a\le2，函数 f(x)=ex−x−af(x)=\mathrm{e}^x-x-a，其中 e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 证明：函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上有唯一零点； (2) 记 x0x_0 为函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的零点，证明：
(i) a−1≤x0≤2(a−1)\sqrt{a-1}\le x_0\le\sqrt{2(a-1)}； (ii) x0f(ex0)≥(e−1)(a−1)ax_0f(\mathrm{e}^{x_0})\ge(\mathrm{e}-1)(a-1)a.

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